Vollständiger Hausdorff-Raum

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ durch eine Funktion getrennt sind, falls eine stetige Funktion ${\displaystyle f\colon X\rightarrow [0,1]}$ existiert, so dass ${\displaystyle f(x)=0}$ und ${\displaystyle f(y)=1}$ gilt.

${\displaystyle X}$ ist ein vollständiger Hausdorff-Raum, falls zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ immer durch eine Funktion getrennt sind. Man sagt auch, dass ${\displaystyle X}$ vollständig ${\displaystyle T_{2}}$ sei. Anders ausgedrückt: Die Menge aller stetigen ${\displaystyle [0,1]}$-wertigen Funktionen ist punktetrennend.

Jeder vollständige Hausdorff-Raum ist ein Urysohn-Raum und erfüllt somit unter anderem die Trennungsaxiome ${\displaystyle T_{0}}$, ${\displaystyle T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$.

Andererseits ist jeder Tychonoff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum.

Weiter existieren dagegen Beispiele, die zeigen, dass weder jeder vollständige Hausdorff-Raum ein regulärer Hausdorff-Raum ist, noch dass jeder reguläre Hausdorff-Raum ein vollständiger Hausdorff-Raum ist.

Die euklidische Topologie auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ definiert einen vollständigen Hausdorff-Raum.

Wir definieren auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ die Topologie, die durch die Vereinigung der Betragstopologie mit der Topologie, deren offenen Mengen die Mengen der Form ${\displaystyle U\setminus A}$ mit einer in der Betragstopologie offenen Menge ${\displaystyle U}$ und einer abzählbaren Menge ${\displaystyle A}$ erzeugt wird. Als eine Erweiterung der Betragstopologie ist diese Topologie vollständig hausdorffsch. Sie ist aber nicht regulär und somit erhalten wir auch keinen Tychonoff-Raum.

Die kanonische Abbildung eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ in seine Stone-Čech-Kompaktifizierung ist genau dann injektiv, wenn ${\displaystyle X}$ vollständig hausdorffsch ist.[1]

1. Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématique. Topologie générale. Ch. 1 à 4. Reimpression inchangée de l'edition originale de 1971. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33936-6, Kapitel 9, S. 10.