Satz von Hopf-Rinow

Eine zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit ${\displaystyle (M,g)}$ heißt geodätisch vollständig, falls für alle ${\displaystyle p\in M}$ die Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp _{p}}$ für alle ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ definiert ist. Das heißt, für jeden Punkt ${\displaystyle p\in M}$ und jeden Tangentialvektor ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ ist die Geodäte ${\displaystyle \gamma }$ mit ${\displaystyle \gamma (0)=p}$ und ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=v}$ auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definiert.

Sei ${\displaystyle (M,g)}$ eine endlichdimensionale, zusammenhängende Riemann’sche Mannigfaltigkeit. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent:

1. Die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist geodätisch vollständig.
2. Es existiert ein ${\displaystyle p\in M,}$ so dass ${\displaystyle \exp _{p}}$ für alle ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ definiert ist.
3. Die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist vollständig als metrischer Raum.
4. Die Heine-Borel-Eigenschaft gilt. Das heißt, jede abgeschlossene und beschränkte Teilmenge ist kompakt.

Aus diesen vier äquivalenten Aussagen lässt sich eine weitere folgern.

• Für alle ${\displaystyle p,q\in M}$ existiert eine Geodäte ${\displaystyle \gamma }$, welche die Punkte ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ auf kürzestem Weg verbindet.

Die Abstandsfunktion ${\displaystyle d(p,q)}$ ist hierbei definiert als das Infimum über die Bogenlängen aller stückweise differenzierbaren Kurven ${\displaystyle \gamma }$ mit ${\displaystyle \gamma (a)=p}$ und ${\displaystyle \gamma (b)=q}$; das heißt, es gilt

${\displaystyle d(p,q)=\inf _{\gamma }\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}\left({\frac {d\gamma (t)}{dt}},{\frac {d\gamma (t)}{dt}}\right)}}\,{d}t.}$

Diese Abstandsfunktion macht ${\displaystyle M}$ zu einem metrischen Raum.

• Aus dem Satz von Hopf-Rinow folgt, dass alle kompakten, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeiten (geodätisch) vollständig sind.
• Für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe folgt, dass die Exponentialabbildung ${\displaystyle \exp _{G}\colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {G} }$ surjektiv ist.
• Alle geschlossenen Untermannigfaltigkeiten einer vollständigen, zusammenhängenden Riemann’schen Mannigfaltigkeit sind vollständig

• Die Sphäre ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$, der euklidische Raum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ und der hyperbolische Raum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ sind vollständig.
• Der metrische Raum ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ mit der euklidischen Metrik induziert durch das Standardskalarprodukt ist nicht vollständig. Wählt man nämlich einen Punkt ${\displaystyle p=(x_{1},x_{2})\in M}$, so gibt es zu dem Punkt ${\displaystyle q=(-x_{1},-x_{2})\in M}$ keine kürzeste Verbindung in ${\displaystyle M}$.

• H. Hopf, W. Rinow: Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. Commentarii Mathematici Helvetici. 3: 209–225, 1931.
• J. Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.