Virasoro-Algebra

Ausgangspunkt ist die Witt-Algebra ${\displaystyle W}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ der Charakteristik 0 (zum Beispiel ${\displaystyle \mathbb {C} }$), die von Elementen ${\displaystyle l_{n},n\in \mathbb {Z} }$ mit den Kommutatorrelationen ${\displaystyle [l_{m},l_{n}]\,=\,(m-n)l_{m+n}}$ erzeugt werde. Eine Virasoro-Algebra ${\displaystyle V}$ ist definiert als zentrale Erweiterung dieser Witt-Algebra. Das heißt, es gibt eine kurze exakte Sequenz von Lie-Algebren

${\displaystyle 0\rightarrow K\cdot c\rightarrow V\rightarrow W\rightarrow 0}$.

Hierbei ist ${\displaystyle K\cdot c}$ ein eindimensionaler Vektorraum, den man sich in ${\displaystyle V}$ enthalten denken kann. Dabei soll ${\displaystyle c}$ im Zentrum von ${\displaystyle V}$ liegen, man bezeichnet ${\displaystyle c}$ manchmal auch als „zentrale Ladung“ der Virasoro-Algebra. Die Virasoro-Algebra ${\displaystyle V}$ wird dann von ${\displaystyle c}$ und Elementen ${\displaystyle L_{n}}$, die Urbilder der ${\displaystyle l_{n}}$ sind, erzeugt. Für die Kommutatorrelationen hat man gewisse Wahlmöglichkeiten. Eine zweckmäßige Wahl ist

${\displaystyle [L_{m},L_{n}]=(m-n)\cdot L_{m+n}+{\frac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}$ für alle ${\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} }$.

Dabei steht ${\displaystyle \delta }$ für das Kronecker-Delta, und da ${\displaystyle c}$ im Zentrum von V ist, gilt ${\displaystyle [v,c]=0}$ für alle ${\displaystyle v\in V}$. Man nennt ${\displaystyle {\tfrac {c}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0}}$ den zentralen Anteil der Kommutatorrelation; diesen Anteil kann man im allgemeinsten Fall als ${\displaystyle \alpha m^{3}+\beta m}$ mit ${\displaystyle \alpha ,\beta \in K}$ wählen. Die vorliegende Wahl wird dadurch motiviert, dass ${\displaystyle m^{3}-m}$ für ${\displaystyle m=-1,0,1}$ verschwindet und daher ${\displaystyle K\cdot L_{-1}+K\cdot L_{0}+K\cdot L_{1}\subset V}$ in obiger Sequenz isomorph auf ${\displaystyle K\cdot l_{-1}+K\cdot l_{0}+K\cdot l_{1}\subset W}$ abgebildet wird, wobei letzteres eine zur sl(2,K) isomorphe Lie-Algebra ist. Der Faktor ${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}}$ ist lediglich eine bequeme Konvention.

Zwei zentrale Erweiterungen der Witt-Algebra ${\displaystyle 0\rightarrow K\cdot c\,{\stackrel {i_{1}}{\rightarrow }}\,V_{1}\,{\stackrel {p_{1}}{\rightarrow }}\,W\rightarrow 0}$ und ${\displaystyle 0\rightarrow K\cdot c\,{\stackrel {i_{2}}{\rightarrow }}\,V_{2}\,{\stackrel {p_{2}}{\rightarrow }}\,W\rightarrow 0}$ heißen äquivalent, wenn es einen Lie-Algebren-Isomorphismus ${\displaystyle \phi \colon V_{1}\to V_{2}}$ gibt mit ${\displaystyle i_{2}=\phi \circ i_{1}}$ und ${\displaystyle p_{1}=p_{2}\circ \phi }$ gibt.

Man kann zeigen, dass es bis auf Äquivalenz nur eine zentrale Erweiterung ${\displaystyle 0\rightarrow K\cdot c\rightarrow V\rightarrow W\rightarrow 0}$ gibt, die nicht äquivalent zu einer semidirekten Summe ${\displaystyle K\cdot c\oplus W}$ ist, nämlich die oben eingeführte Virasoro-Algebra.

• Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5