Vierertensor

Vierertensor ist ein Begriff aus der Relativitätstheorie. Ein Vierertensor ist ein Tensor über dem 4-dimensionalen Vektorraum der Minkowski-Raum-Zeit ${\displaystyle M}$ und seinem Dualraum ${\displaystyle M^{*}}$, oder in der Allgemeinen Relativitätstheorie über dem Tangentialraum an die Raumzeit, eine vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit.

Ein Vierertensor der Stufe ${\displaystyle (k,l)}$ ist ein Element des Tensorprodukts

${\displaystyle \underbrace {M\otimes M\otimes \dotsb \otimes M} _{k{\text{ mal}}}\otimes \underbrace {M^{*}\otimes M^{*}\otimes \dotsb \otimes M^{*}} _{l{\text{ mal}}}}$

Ein solcher Tensor der Stufe ${\displaystyle (k,l)}$ heißt ${\displaystyle k}$-fach kontravariant und ${\displaystyle l}$-fach kovariant. Vierertensoren der Stufe ${\displaystyle (1,0)}$ bzw. ${\displaystyle (0,1)}$ heißen auch kontravariante bzw. kovariante Vierervektoren.

Vierertensoren erster Stufe lassen sich durch einen Vektor mit vier Einträgen darstellen. Beispiele:

• Vierergeschwindigkeit
• Viererimpuls

Vierertensoren zweiter Stufe lassen sich durch eine ${\displaystyle 4\times 4}$ Matrix darstellen. Beispiele:

• metrischer Tensor
• elektromagnetischer Feldstärketensor
• Energie-Impuls-Tensor

Ein Vierertensor vierter Stufe lässt sich durch ${\displaystyle 4^{4}=256}$ Einträge darstellen. Beispiel:

• Riemannscher Krümmungstensor