Verzweigung (Algebra)

Verzweigung ist ein mathematischer Begriff, der die Gebiete Algebra, algebraische Geometrie, algebraische Zahlentheorie und komplexe Analysis miteinander verbindet.

Namengebendes Beispiel

Es sei $n>1$ eine natürliche Zahl und $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C}$ die Funktion $z\mapsto w=z^{n}$ . Ist nun $w\neq 0$ und $U$ eine (hinreichend kleine) Umgebung von $w$ , so besteht das Urbild von $U$ aus $n$ Zusammenhangskomponenten, die durch eine Rotation um $2\pi /n$ , also Multiplikation mit einer $n$ -ten Einheitswurzel auseinander hervorgehen. Bewegt sich $w\to 0$ , so bewegen sich auch die Urbilder gegen 0, um dann für $w_{0}=0$ zu einem einzigen Urbild $\{0\}$ zu verschmelzen. 0 ist also gewissermaßen der Verzweigungspunkt für die $n$ Zweige. (Man beachte, dass die Zweige lokal bei 0 nicht getrennt sind, auch wenn man die 0 entfernt.)

Für den Übergang zu einer algebraischen Sichtweise sei nun $g(w)$ eine holomorphe Funktion, die in einer Umgebung der 0 definiert ist. Hat $g$ bei 0 eine $k$ -fache Nullstelle, so hat die zurückgezogene Funktion

f^{*}(g)=g\circ f,\quad z\mapsto g(z^{n})

eine $nk$ -fache Nullstelle. Dieses Zurückziehen lokal definierter holomorpher Funktionen entspricht einem Ringhomomorphismus

f^{*}\colon \mathbb {C} \{w\}\to \mathbb {C} \{z\},\quad w\mapsto z^{n}.

(Dabei bezeichnet $\mathbb {C} \{w\}$ den Ring der Potenzreihen, deren Konvergenzradius positiv ist.) Die Nullstellenordnung ist eine diskrete Bewertung auf den beteiligten Ringen, und es gilt wie gesagt

\operatorname {ord} _{z=0}f^{*}(g)=n\cdot \operatorname {ord} _{w=0}g.

Diese Eigenschaft ist charakteristisch für Verzweigungspunkte.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen bewerteter Körper

Es sei $K$ ein Körper mit einer diskreten (Exponential-)Bewertung $v\colon K^{\times }\to \mathbb {R}$ . Weiter seien

{\mathcal {O}}_{K}=\{x\in K\mid v(x)\geq 0\}

bzw.

{\mathfrak {m}}_{K}=\{x\in K\mid v(x)>0\}

der Bewertungsring bzw. das Bewertungsideal von $K$ , $\pi _{K}$ eine Uniformisierende, d. h. ein Erzeuger von ${\mathfrak {m}}_{K}$ , und $\kappa ={\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {m}}_{K}$ der Restklassenkörper. Weiter sei $L$ eine endliche Erweiterung von $K$ mit diskreter Bewertung $w\colon L^{\times }\to \mathbb {R}$ , die $v$ fortsetzt, d. h. $w|_{K}=v$ . Schließlich seien ${\mathcal {O}}_{L},{\mathfrak {m}}_{L},\pi _{L},\lambda$ analog zu oben.

Der Verzweigungsindex von $L/K$ ist definiert als

e_{w/v}={\frac {v(\pi _{K})}{w(\pi _{L})}}=(w(L^{\times }):v(K^{\times }))

Ist er gleich 1, so heißt die Erweiterung unverzweigt. Sein Gegenstück ist der Trägheitsgrad ${\displaystyle f_{w/v}=[\lambda$ .

Eigenschaften

Ist die Erweiterung $L/K$ separabel, und durchläuft $w$ alle möglichen Fortsetzungen von $v$ , so gilt die fundamentale Gleichung[1]

\sum _{w/v}e_{w/v}f_{w/v}=[L:K].

Ist $K$ darüber hinaus vollständig, so ist $w$ eindeutig bestimmt[2] als

w(x)={\frac {1}{[L:K]}}v(N_{L/K}(x)),

und es gilt[3]

e_{w/v}f_{w/v}=[L:K].

Es seien nun $K$ vollständig und $L/K$ galoissch, und außerdem sei $\lambda /\kappa$ separabel. (Diese Voraussetzungen sind beispielsweise für lokale Körper erfüllt.) Dann ist $\lambda /\kappa$ sogar galoissch, und es gibt eine kurze exakte Sequenz[4]

1\to I\to \mathrm {Gal} (L/K)\to \mathrm {Gal} (\lambda /\kappa )\to 1;

dabei bezeichnet man den Kern

I

als Trägheitsgruppe. Ihr Fixkörper

T

ist die maximale unverzweigte Teilerweiterung[5] von

L/K

, und im Fall endlicher Erweiterungen gilt

[L:T]=\#I=e,\quad [T:K]=f.

Insbesondere gilt: Ist

L/K

unverzweigt, so ist

\mathrm {Gal} (L/K)\cong \mathrm {Gal} (\lambda /\kappa ).

Ist

K^{\mathrm {nr} }

die maximale unverzweigte Erweiterung (in einem separablen Abschluss

K^{\mathrm {sep} }

von

K

), so gilt entsprechend

\mathrm {Gal} (K^{\mathrm {nr} }/K)\cong \mathrm {Gal} (\kappa ^{\mathrm {sep} }/\kappa ).

Im Fall lokaler Körper ist letztere Gruppe kanonisch isomorph zu

{\hat {\mathbb {Z} }}

, hat also eine besonders einfache Struktur. Da die Galoisgruppe

\mathrm {Gal} (\kappa ^{\mathrm {sep} }/\kappa )

im Frobenius-Automorphismus

x\mapsto x^{q}

mit

q=\#\kappa

einen kanonischen Erzeuger besitzt, gibt es auch in

\mathrm {Gal} (K^{\mathrm {nr} }/K)

ein kanonisches Element, das ebenfalls als Frobenius-Automorphismus bezeichnet wird.

Verzweigung im Kontext von Erweiterungen von Dedekindringen

Es sei $A$ ein Dedekindring mit Quotientenkörper $K$ , $L$ eine endliche separable Erweiterung von $K$ und $B$ der ganze Abschluss von $A$ in $L$ ; $B$ ist wieder ein Dedekindring.[6]

Einer der wichtigsten Spezialfälle ist $A=\mathbb {Z}$ , $K=\mathbb {Q}$ , $L$ ein Zahlkörper und $B$ sein Ganzheitsring.

Weiter sei ${\mathfrak {p}}$ ein maximales Ideal von $A$ . Dann lässt sich ${\mathfrak {p}}B$ auf eindeutige Weise als Produkt von Potenzen verschiedener Primidealen von $B$ schreiben:

{\mathfrak {p}}B={\mathfrak {P}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {P}}_{k}^{e_{k}}.

Die Zahlen $e_{i}$ heißen Verzweigungsindizes, die Grade der Restklassenkörpererweiterungen $f_{i}=[B/{\mathfrak {P}}_{i}:A/{\mathfrak {p}}]$ Trägheitsgrade.

Ist $e_{i}=1$ und die Erweiterung der Restklassenkörper separabel, so heißt ${\mathfrak {P}}_{i}$ unverzweigt. (Im Fall von Zahlkörpern und Funktionenkörpern über endlichen Körpern ist die Restklassenkörperweiterung stets separabel.)
Ist $f_{i}=1$ , so heißt ${\mathfrak {P}}_{i}$ rein verzweigt.
Sind alle ${\mathfrak {P}}_{i}$ unverzweigt, so heißt ${\mathfrak {p}}$ unverzweigt. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt dann in ein Produkt verschiedener Primideale.
Sind alle Primideale (ungleich null) von $K$ unverzweigt, so heißt die Erweiterung $L/K$ unverzweigt.

Eigenschaften

Ein Primideal ${\mathfrak {P}}$ von $L$ über einem Primideal ${\mathfrak {p}}$ von $K$ ist genau dann unverzweigt in dem hier definierten Sinne, wenn die Erweiterung $L/K$ mit den durch ${\mathfrak {P}}$ bzw. ${\mathfrak {p}}$ definierten Bewertungen unverzweigt im bewertungstheoretischen Sinne ist.
Es gilt die fundamentale Gleichung[7]

[L:K]=\sum _{i=1}^{k}e_{i}f_{i}.

Es gibt stets nur endlich viele verzweigte Primideale in $K$ .[8] Ein Primideal in $K$ ist genau dann verzweigt, wenn es die Diskriminante teilt;[9] ein Primideal in $L$ ist genau dann verzweigt, wenn es die Differente teilt.[10]
Die einzige unverzweigte Erweiterung von $\mathbb {Q}$ ist $\mathbb {Q}$ selbst.[11]
Ist $L/K$ eine Galoiserweiterung globaler Körper und ${\mathfrak {p}}$ unverzweigt, so gibt es analog zum lokalen Fall für jedes Primideal ${\mathfrak {P}}$ über ${\mathfrak {p}}$ einen Frobenius-Automorphismus $\varphi _{\mathfrak {P}}\in \mathrm {Gal} (L/K)$ , der die Zerlegungsgruppe von ${\mathfrak {P}}$ erzeugt. Er ist die Grundlage für das Artinsymbol der Klassenkörpertheorie.[12]

Beispiel

Ein verhältnismäßig einfacher Dedekindring ist der Ring der Eisensteinzahlen. Betrachtet man sie, wie üblich, als Erweiterung der ganzen Zahlen, dann ist hier genau das von der Primzahl 3 (im Ring der ganzen Zahlen) erzeugte Primideal verzweigt.

Unverzweigte Schemamorphismen

Es seien $X$ und $Y$ Schemata und $f\colon X\to Y$ ein Morphismus lokal endlicher Präsentation. Dann heißt $f$ unverzweigt, falls eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:[13]

$\Omega _{X/Y}^{1}=0$
Für einen (und damit für jeden) Morphismus $g\colon Y\to Z$ ist

f^{*}\colon \Omega _{Y/Z}^{1}\to \Omega _{X/Z}^{1}

surjektiv.

Die Fasern von $f$ über Punkten $y\in Y$ sind disjunkte Vereinigungen von Spektren endlicher separabler Körpererweiterungen von $\kappa (y)$ .
Die Diagonale $X\to X\times _{Y}X$ ist eine offene Einbettung.
Ist $T$ ein affines Schema und $T_{0}$ ein abgeschlossenes Unterschema, das durch eine nilpotente Idealgarbe definiert wird, so ist die induzierte Abbildung

\mathrm {Hom} _{Y}(T,X)\to \mathrm {Hom} _{Y}(T_{0},X)

injektiv.

Der Morphismus $f$ heißt unverzweigt im Punkt $x\in X$ , wenn es eine offene Umgebung $U$ von $x$ in $X$ gibt, so dass $f|_{U}$ unverzweigt ist. Unverzweigtheit in einem Punkt $x$ kann auch anders charakterisiert werden (es sei $y=f(x)$ ):[14]

$\Omega _{X/Y,x}^{1}=0$
Die Diagonale $X\to X\times _{Y}X$ ist ein lokaler Isomorphismus bei $x$ .
${\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}_{y}{\mathcal {O}}_{X,x}$ ist ein Körper, der eine endliche separable Erweiterung von $\kappa (y)$ ist.

Die Unverzweigtheit von $f$ im Punkt $x$ hängt nur von der Faser $f^{-1}(y)$ ab.

Eigenschaften

Unverzweigte Morphismen sind lokal quasiendlich.[15]
Ist $Y$ zusammenhängend und $f\colon X\to Y$ unverzweigt und separiert, so entsprechen die Schnitte von $f$ eineindeutig den Zusammenhangskomponenten von $X$ , die durch $f$ isomorph auf $Y$ abgebildet werden.[16]

Bedeutung

Algebraische Geometrie

Ist $X$ ein Schema über einem diskret bewerteten Körper $K$ mit Bewertungsring $V$ , so werden häufig Modelle von $X$ über $V$ betrachtet, d. h. Schemata ${\mathcal {X}}$ über $V$ mit $X\cong {\mathcal {X}}\otimes _{V}K$ . Ist nun $L/K$ eine unverzweigte Erweiterung und $W$ der Bewertungsring von $L$ , so ist der Morphismus $\mathrm {Spec} \,W\to \mathrm {Spec} \,V$ und damit auch der Morphismus ${\mathcal {X}}_{W}:={\mathcal {X}}\otimes _{V}W\to {\mathcal {X}}$ étale und surjektiv, folglich übertragen sich viele Eigenschaften von ${\mathcal {X}}$ auf das Modell ${\mathcal {X}}_{W}$ von $X_{L}$ .

Literatur

Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6.
A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de géométrie algébrique. Publications mathématiques de l’IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)

Quellen

Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.8.5), S. 173
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (II.6.2), S. 150
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.6.8), S. 157
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.9), S. 181
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.11), S. 182
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.1), S. 47
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.2), S. 48
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.4), S. 52
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Korollar (III.2.12), S. 213
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (III.2.6), S. 210
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (III.2.18), S. 218
Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Aufgabe I.9.2, S. 61, sowie Abschnitt VI.7, S. 424ff.
EGA IV, 17.4.2, 17.2.2, 17.1.1, 17.3.1
EGA IV, 17.4.1
EGA IV, 17.4.3
EGA IV, 17.4.9

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[1] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.8.5), S. 173

[2] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (II.6.2), S. 150

[3] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.6.8), S. 157

[4] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.9), S. 181

[5] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (II.9.11), S. 182

[6] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.1), S. 47

[7] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.2), S. 48

[8] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (I.8.4), S. 52

[9] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Korollar (III.2.12), S. 213

[10] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Theorem (III.2.6), S. 210

[11] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Satz (III.2.18), S. 218

[12] Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992. ISBN 3-540-54273-6, Aufgabe I.9.2, S. 61, sowie Abschnitt VI.7, S. 424ff.

[13] EGA IV, 17.4.2, 17.2.2, 17.1.1, 17.3.1

[14] EGA IV, 17.4.1

[15] EGA IV, 17.4.3

[16] EGA IV, 17.4.9