Zinsrechnung

Bei jährlicher Verzinsung gilt für das Endkapital

${\displaystyle K_{n}=K_{0}+K_{0}\cdot n\cdot i=K_{0}\cdot (1+n\cdot i)}$.

Durch Umformung erhält man Formeln zur Berechnung des für ein bestimmtes Endkapital nötigen Startkapitals, Zinssatzes oder der Laufzeit:

${\displaystyle i={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {K_{n}}{K_{0}}}-1\right)}$,

${\displaystyle n={\frac {1}{i}}\cdot \left({\frac {K_{n}}{K_{0}}}-1\right)}$.

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre angelegt. Bei einfacher Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von

${\displaystyle K_{2}=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+2\cdot 0{,}05)=1100\;\mathrm {\euro} }$.

Die Formel für das Kapital nach ${\displaystyle n}$ Jahren bei jährlicher Verzinsung und Zinseszinsen lautet:

${\displaystyle K_{n}=K_{0}\cdot (1+i)^{n}=K_{0}\cdot q^{n}}$.

Die Formel lässt sich umstellen, um bei gegebenem Endkapital das Startkapital, den Zinssatz oder die Laufzeit zu bestimmen:

${\displaystyle K_{0}={\frac {K_{n}}{(1+i)^{n}}}={\frac {K_{n}}{q^{n}}}}$.

${\displaystyle i={\sqrt[{n}]{\frac {K_{n}}{K_{0}}}}-1\qquad {\text{oder}}\qquad q={\sqrt[{n}]{\frac {K_{n}}{K_{0}}}}}$.

${\displaystyle p=\left({\sqrt[{n}]{\frac {K_{n}}{K_{0}}}}-1\right)\cdot 100}$.

${\displaystyle n={\frac {\ln {\frac {K_{n}}{K_{0}}}}{\ln {(1+i)}}}={\frac {\ln {K_{n}}-\ln {K_{0}}}{\ln {q}}}}$.

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 Prozent über 2 Jahre angelegt. Bei jährlicher Verzinsung ergäbe sich ein Endkapital von

${\displaystyle K_{2}=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}05)^{2}=1102{,}50\;\mathrm {\euro} }$.

Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem Zinssatz von 5 % p. a. über 2 Jahre angelegt. Mit Zinseszinsen ergibt sich ein Endkapital von

${\displaystyle K_{2}=K_{0}\cdot (q)^{n}=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}05)^{2}=1102{,}50\;\mathrm {\euro} }$.

Wird die Laufzeit gesucht, nach der sich das Startkapital verdoppelt hat, so gilt allgemein:

${\displaystyle n={\frac {\log {2}}{\log {(1+i)}}}={\frac {\log {2}}{\log {q}}}}$.

Dieser Wert lässt sich auch durch die 72er-Regel abschätzen.

Wird schließlich umgekehrt von einem gegebenen Endwert auf das Startkapital zurückgerechnet, das zur Erzielung des Endwerts bei gegebener Laufzeit und gegebenem Zinssatz nötig wäre, wird dieser Wert als Barwert des Endwerts bzw. -kapitals bezeichnet:

${\displaystyle K_{0}=K_{2}\,/\,(q)^{n}=1100\;\mathrm {\euro} \,/\,(1+0{,}05)^{2}=997{,}73\;\mathrm {\euro} }$.

In Worten: Um in 2 Jahren 1.100 € von einem mit 5 % p. a. verzinsten Konto abheben zu können, müssten dazu zum gegenwärtigen Zeitpunkt 997,73 € auf dieses Konto eingezahlt werden, anders gesagt, 1.100 € in 2 Jahren sind damit praktisch soviel wert wie ebendieser Betrag in bar heute.

Für das Endkapital ${\displaystyle K_{n,k}}$ nach ${\displaystyle n}$ Jahren mit je ${\displaystyle m}$ Zinsperioden sowie ${\displaystyle k}$ weiteren unterjährigen Zinsperioden gilt:

${\displaystyle K_{\mathrm {n,k} }=K_{0}\cdot (1+[n\cdot m+k]\cdot i_{\mathrm {rel} })}$.

Dabei stellt ${\displaystyle n\cdot m+k}$ die Gesamtzahl von Zinsperioden nach ${\displaystyle n}$ Jahren und ${\displaystyle k}$ Perioden dar (Laufzeit in Zinsperioden).

Ein Kapital von 1.000 € wird bei monatlicher Verzinsung (${\displaystyle m=12}$) zu einem nominellen Jahreszinssatz von 6 Prozent angelegt.

Der relative Periodenzinssatz beträgt 0,5 %. Nach 2 Jahren und 4 Monaten ergibt sich mit einfachen Zinsen ein Endkapital von

${\displaystyle K_{\mathrm {2,4} }=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+[2\cdot 12+4]\cdot 0{,}005)=1000\;\mathrm {\euro} \cdot 1{,}140=1140\;\mathrm {\euro} }$.

Für das Endkapital ${\displaystyle K_{n,k}}$ nach ${\displaystyle n}$ Jahren mit je ${\displaystyle m}$ Zinsperioden sowie ${\displaystyle k}$ weiteren unterjährigen Zinsperioden gilt

${\displaystyle K_{\mathrm {n,k} }=K_{0}\cdot (1+i_{\mathrm {rel} })^{n\cdot m+k}}$.

Die Laufzeit in Zinsperioden berechnet sich also analog zur einfachen Zinsrechnung wieder zu ${\displaystyle n\cdot m+k}$.

Zusätzlich zum relativen und nominellen Zinssatz lässt sich beim Zinseszinsfall der effektive Jahreszinssatz ${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }}$ bestimmen, bei dem eine einmalige jährliche Verzinsung zu ebendiesem Zinssatz dasselbe Ergebnis liefert wie eine mehrmalige unterjährige Verzinsung zum relativen Zinssatz. Mit ${\displaystyle i_{\mathrm {nom} }}$ als dem nominellen Jahreszinssatz p. a., ${\displaystyle m}$ als der Zahl der Zinsperioden pro Jahr sowie dem Quotienten beider Größen ${\displaystyle {\tfrac {i_{\mathrm {nom} }}{m}}}$ als dem relativen Periodenzinssatz ${\displaystyle i_{\mathrm {rel} }}$ gilt dann:[1]

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }=\left(1+{\frac {i_{\mathrm {nom} }}{m}}\right)^{m}-1}$.

Multipliziert man die Klammer aus und lässt die höheren Potenzen von ${\displaystyle i_{\mathrm {nom} }}$ (die für kleine ${\displaystyle i_{\mathrm {nom} }}$ fast gar nichts zu der Summe beitragen) weg, kann man den Effektivzins gut abschätzen:

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }\approx i_{\mathrm {nom} }+{\frac {\binom {m}{2}}{m^{2}}}\cdot i_{\mathrm {nom} }^{2}=i_{\mathrm {nom} }+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {m-1}{m}}\cdot i_{\mathrm {nom} }^{2}}$.

Der zusätzliche Zinsgewinn bei mehrmaliger unterjähriger Verzinsung gegenüber der einmaligen jährlichen Verzinsung kann damit wie folgt abgeschätzt werden:

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }\approx {\frac {m-1}{2m}}\cdot i_{\mathrm {nom} }^{2}\approx 0{,}5\cdot i_{\mathrm {nom} }^{2}}$.

Zusammenhang der verschiedenen in der Zinsrechnung gebräuchlichen Zinssätze und -faktoren

Ist lediglich der Effektivzins gegeben, so ergibt sich der relative Periodenzinssatz, in diesem Fall von manchen Autoren auch „konformer“ Zinssatz ${\displaystyle i_{\mathrm {kon} }}$ genannt, gemäß folgender Formel:

${\displaystyle i_{\mathrm {rel} }={\sqrt[{m}]{1+i_{\mathrm {eff} }}}-1=i_{\mathrm {kon} }}$.

Was den Begriff des ebengenannten „konformen“ Zinssatzes bzw. -fußes angeht, findet sich dieser im Schrifttum allerdings leider, wie schon der des „effektiven“ Zinssatzes, auf mehrere nicht immer leicht voneinander unterscheidbare Weisen verwendet, was leicht zu Verwechslungen und Missverständnissen führt. Entscheidend ist dabei in allen Fällen, was als Bezugspunkt des „konformen“ Zinssatzes gewählt wird, d. h. womit dieser Zinssatz „konform“ bzw. wozu er „äquivalent“ oder „wertgleich“ sein soll.

So wird er von einzelnen Autoren,[2] aber z. B. SAP in deren Banking-Software[3] als konformer Jahreszinssatz mit dem effektiven Jahreszinssatz gleichgesetzt, im Gros der Fälle jedoch lediglich ausgehend von diesem oder dem nominellen Jahreszinssatz definiert.

Erfolgt die Definition des „konformen“ Zinssatzes bzw. -fußes gemäß nachstehender Formel lediglich auf Grundlage des effektiven Jahreszinsatzes[4], ohne ihn mit diesem gleichzusetzen, erweist er sich damit in der Endkonsequenz als nichts anderes als der schon genannte relative Periodenzinssatz:

${\displaystyle i_{\mathrm {kon} }={\sqrt[{m}]{1+i_{\mathrm {eff} }}}-1={\sqrt[{m}]{1+(1+{\frac {i_{\mathrm {nom} }}{m}})^{m}-1}}-1={\frac {i_{\mathrm {nom} }}{m}}=i_{\mathrm {rel} }}$.

Dieser „konforme“ Zinssatz ist somit derjenige Zinssatz, der bei m-facher geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung zum Jahresende dasselbe Ergebnis wie die einfache Anwendung des effektiven Jahreszinssatzes liefert:

${\displaystyle (1+i_{\mathrm {kon} })^{m}=1+i_{\mathrm {eff} }}$.

Um Missverständnissen vorzubeugen, sollte der so definierte „konforme“ Zinssatz daher präziser als zum effektiven Jahreszinssatz konformer (wertgleicher) unterjähriger Zinssatz[5] bezeichnet –– oder stattdessen besser von vornherein dem bedeutungsgleichen Begriff des relativen Periodenzinssatzes der Vorzug gegeben – werden.

Der andere Teil der überwiegenden Zahl von Autoren dagegen wählt als Bezugspunkt für die Definition des „konformen“ Zinssatzes statt des effektiven den nominellen Jahreszinssatz[6]

${\displaystyle i_{\mathrm {kon} }={\sqrt[{m}]{1+i_{\mathrm {nom} }}}-1}$.

Der „konforme“ Zinssatz ist damit nun – anders als zuvor – derjenige Zinssatz, der bei m-facher geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung zum Jahresende dasselbe Ergebnis wie die einfache Anwendung des nominellen Jahreszinssatzes liefert

${\displaystyle (1+i_{\mathrm {kon} })^{m}=1+i_{\mathrm {nom} }}$,

weshalb er von einigen Autoren auch als – man sollte ergänzen „zum nominellen Jahreszinssatz“ – konformer (äquivalenter) unterjähriger[7][8] oder Periodenzinssatz[9][10] bezeichnet wird.

Ein Kapital von 1.000 € wird wie oben angelegt ${\displaystyle (m=12}$; ${\displaystyle i_{\mathrm {nom} }=6,\%}$, ${\displaystyle i_{\mathrm {rel} }={\tfrac {0{,}06}{12}}=0{,}005,i_{\mathrm {kon} }={\sqrt[{12}]{1{,}06}}-1\approx 0{,}004868)}$.

Nach 2 Jahren und 4 Monaten und damit 28-maliger geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung mit dem relativen Periodenzinssatz ${\displaystyle i_{\mathrm {rel} }}$ beträgt das Kapital inkl. der Zinseszinsen dann

${\displaystyle K_{\mathrm {2,4} }=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}005)^{2\cdot 12+4}\approx 1149{,}87\;\mathrm {\euro} }$.

Dasselbe Resultat erhielte man aber auch, wenn man von vornherein mit dem effektiven Jahreszinssatz, in diesem Fall

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }=\left(1+{\frac {0{,}06}{12}}\right)^{12}-1\approx 0{,}061678\approx 6{,}1678\,\%}$,

rechnen würde:

${\displaystyle K_{\mathrm {2,4} }=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}061678)^{\frac {28}{12}}\approx 1149{,}87\;\mathrm {\euro} }$.

Würde dagegen in gleicher Weise, nur diesmal mit dem (zum nominellen Jahreszinssatz) konformen Periodenzinssatz ${\displaystyle i_{\mathrm {kon} }}$ verzinst, ergäbe sich nach Ablauf der 28 Monate nur noch ein Kapital inkl. Zinseszinsen von

${\displaystyle K_{\mathrm {2,4} }=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}06)^{\frac {28}{12}}=1000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}004868)^{2\cdot 12+4}\approx 1145{,}64\;\mathrm {\euro} }$.

Ein Kapital von 10.000 € wird angelegt zu ${\displaystyle i_{\mathrm {nom} }=3\,\%}$ jährlich.

Bei einer jährlichen Verzinsung (${\displaystyle m=1}$) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:

${\displaystyle K_{1}=10000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}03/1)^{1}=10300{,}00\;\mathrm {\euro} }$

der Effektivzins ist ${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }=i_{\mathrm {nom} }=3{,}00\,\%}$.

Bei einer unterjährigen quartalsweisen Verzinsung (${\displaystyle m=4}$) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:

${\displaystyle K_{\mathrm {1,0} }=10000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}03/4)^{4}\approx 10303{,}39\;\mathrm {\euro} }$

Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer quartalsweisen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }=\left(1+{\frac {0{,}03}{4}}\right)^{4}-1-0{,}03\approx 0{,}03392\,\%}$.

und kann abgeschätzt werden mit:

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }\approx {\frac {4-1}{2\cdot 4}}\cdot 0{,}03^{2}=0{,}03375\,\%}$.

Bei einer unterjährigen monatlichen Verzinsung (${\displaystyle m=12}$) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:

${\displaystyle K_{\mathrm {1,0} }=10000\;\mathrm {\euro} \cdot (1+0{,}03/12)^{12}\approx 10304{,}16\;\mathrm {\euro} }$

Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer monatlichen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }=\left(1+{\frac {0{,}03}{12}}\right)^{12}-1-0{,}03\approx 0{,}04160\,\%}$.

und kann abgeschätzt werden mit:

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }\approx {\frac {12-1}{2\cdot 12}}\cdot 0{,}03^{2}=0{,}04125\,\%}$.

Bei einer unterjährigen stetigen Verzinsung (${\displaystyle m=\infty }$, siehe weiter unten) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:

${\displaystyle K_{1}=10000\;\mathrm {\euro} \cdot e^{1\cdot 0{,}03}\approx 10304{,}55\;\mathrm {\euro} }$

Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer stetigen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }=e^{1\cdot 0{,}03}-1-0{,}03\approx 0{,}04545\,\%}$.

und kann abgeschätzt werden mit:

${\displaystyle i_{\mathrm {eff} }-i_{\mathrm {nom} }\approx {\frac {1}{2}}\cdot 0{,}03^{2}=0{,}04500\,\%}$.

Eine Geldanlage mit einer jährlichen einmaligen Verzinsung von z. B. 3,05 % ergäbe damit also stets einen höheren Zinsertrag als eine Geldanlage mit einem nominalen Zinssatz von nur 3,00 % und dafür beliebig häufiger unterjähriger Verzinsung. Viele Geldinstitute dagegen werben mit dem höheren Zinsertrag bei einer unterjährigen, z. B. quartalsweisen Verzinsung, ohne den höheren Zinsertrag genau zu beziffern. An dem obigen Beispiel ist leicht zu erkennen, dass die unterjährige quartalsweise Verzinsung bei einer Anlage von 10.000 € nur einen minimalen zusätzlichen Zinsertrag 3,39 € liefert, und selbst im Idealfall der stetigen Verzinsung wären es nicht mehr als 4,55 €.

Am 25. Juni 2008 werden 1.000 € zu einem Zinssatz von 2,5 % auf einem Sparbuch angelegt. Wie hoch ist der Auszahlungsbetrag bei Auflösung des Sparbuches am 12. April 2013?

Bis zum Ende des Jahres 2008 vergehen nach Deutscher Zinsberechnungsmethode ${\displaystyle t_{1}=6\cdot 30+6=186}$ Tage. Das Kapital liegt die gesamten Jahre 2009–2012 fest (${\displaystyle n=4}$). Im Jahr 2013 werden noch für ${\displaystyle t_{2}=3\cdot 30+11=101}$ Tage Zinsen gezahlt.

Das Kapital am Auszahlungstag beträgt also

${\displaystyle K=1000\;\mathrm {\euro} \cdot \left(1+0{,}025\cdot {\frac {186}{360}}\right)\cdot (1+0{,}025)^{4}\cdot \left(1+0{,}025\cdot {\frac {101}{360}}\right)=1125{,}91\;\mathrm {\euro} }$

Die Berechnung einfacher Zinsen begünstigt den Anleger: falls Zinseszinsen über die gesamte Laufzeit berechnet würden, erhielte man im vorliegenden Fall

${\displaystyle K=1000\;\mathrm {\euro} \cdot 1{,}025^{4+{\frac {287}{360}}}\approx 1125{,}76\;\mathrm {\euro} }$.