Vollständiges Maß

Ein Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ heißt vollständig, wenn

${\displaystyle N\in {\mathcal {A}},\quad \mu (N)=0,\quad E\subset N\quad \Longrightarrow E\in {\mathcal {A}}}$.

Ist der Maßraum vollständig, so nennt man auch das Maß ${\displaystyle \mu }$ vollständig.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum und

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}:=\{A:A_{1}\subset A\subset A_{2}{\text{ wobei }}A_{1},A_{2}\in {\mathcal {A}}{\text{ und }}\mu (A_{2}\backslash A_{1})=0\}}$

und ein eindeutiges Maß ${\displaystyle {\tilde {\mu }}:{\tilde {\mathcal {A}}}\to [0,\infty ]}$, sodass

${\displaystyle {\tilde {\mu }}\vert _{\mathcal {A}}=\mu }$.

Das Tripel ${\displaystyle (\Omega ,{\tilde {\mathcal {A}}},{\tilde {\mu }})}$ ist ein vollständiger Maßraum. Er heißt die Vervollständigung von ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$.

Äquivalente Definitionen von ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {A}}}}$ sind

${\displaystyle \{A\cup N:A\in {\mathcal {A}},{\text{ und }}N\subset B\in {\mathcal {A}}{\text{ für ein }}B{\text{ sodass }}\mu (B)=0\}=\{A\triangle N:A\in {\mathcal {A}},{\text{ und }}N\subset B\in {\mathcal {A}}{\text{ für ein }}B{\text{ sodass }}\mu (B)=0\}}$.

Ist ein äußeres Maß ${\displaystyle \nu }$ gegeben und ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\nu }}$ die σ-Algebra der ${\displaystyle \nu }$-messbaren Mengen sowie ${\displaystyle \mu$ :=\nu |_{{\mathcal {A}}_{\nu }}} das zugehörige Maß, so ist der Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}}_{\nu },\mu )}$ vollständig. Dies folgt schon aus der Definition der ${\displaystyle \nu }$-Messbarkeit, da wenn ${\displaystyle B\subset A\in {\mathcal {A}}_{\nu }}$ ist mit ${\displaystyle \nu (A)=0}$, so folgt aus den Eigenschaften des äußeren Maßes ${\displaystyle \nu (B)=0}$ und daher ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}_{\nu }}$.

Ein bekanntes Beispiel für eine Vervollständigung ist die Vervollständigung des Lebesgue-Borel-Maßes zum Lebesgue-Maß. Diese Vervollständigung erklärt auch, warum die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen größer ist als die der Borel-messbaren Mengen.

Ein Beispiel für einen Maßraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$, der nicht vollständig ist, ist durch ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{[0,1),\{1\},\emptyset ,\Omega \}}$ und ${\displaystyle \mu =\delta _{1}}$ mit dem Dirac-Maß in ${\displaystyle 1}$ gegeben. Für ${\displaystyle A=[0,1)}$ gilt ${\displaystyle \mu (A)=0}$ und für jede echte Teilmenge ${\displaystyle B}$ von ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle B\notin {\mathcal {A}}}$. Zugleich ist dies ein Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum, der nicht vollständig ist.

• Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8.