Verteilungsfunktion

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ auf dem Ereignisraum der reellen Zahlen, d. h., jede reelle Zahl kann als mögliches Ergebnis aufgefasst werden. Dann heißt die Funktion

${\displaystyle F_{P}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$

definiert durch:

${\displaystyle F_{P}(x)=P((-\infty ,x])}$

die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle P}$. Mit anderen Worten: Die Funktion gibt an der Stelle ${\displaystyle x}$ an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ergebnis aus der Menge ${\displaystyle (-\infty ,x]}$ (alle reellen Zahlen kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$) eintritt.

Ist ${\displaystyle X}$ eine reelle Zufallsvariable, so nennt man die Funktion

${\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}$

die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle X}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle P(X\leq x)}$ die Wahrscheinlichkeit, dass ${\displaystyle X}$ einen Wert kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ annimmt.

Somit ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen genau die Verteilungsfunktion ihrer Verteilung.

Besitzt das Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle P}$ eine Wahrscheinlichkeitsdichte ${\displaystyle f_{P}}$, so gilt

${\displaystyle P((a,b])=\int _{a}^{b}f_{P}(x)\,\mathrm {d} x}$.

Somit hat in diesem Fall die Verteilungsfunktion die Darstellung

${\displaystyle F_{P}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{P}(t)\,\mathrm {d} t}$.

Beispielsweise hat die Exponentialverteilung die Dichte

${\displaystyle f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda {\rm {e}}^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$.

Ist also die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ exponentialverteilt, also ${\displaystyle X\sim \operatorname {Exp} (\lambda )}$, so ist

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{\lambda }(t)\,\mathrm {d} t={\begin{cases}1-\mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$.

Dieses Vorgehen ist jedoch nicht allgemein gangbar. Erstens besitzen nicht alle Wahrscheinlichkeitsmaße auf den reellen Zahlen eine Dichtefunktion (beispielsweise diskrete Verteilungen, aufgefasst als Verteilungen in ${\displaystyle \mathbb {R} }$); zweitens muss selbst bei der Existenz einer Dichtefunktion nicht notwendigerweise eine Stammfunktion mit geschlossener Darstellung existieren (so beispielsweise bei der Normalverteilung).

Betrachtet man zu einem Parameter ${\displaystyle p\in (0,1)}$ eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$, so ist

${\displaystyle P(X=0)=1-p{\text{ und }}P(X=1)=p}$

und für die Verteilungsfunktion folgt dann

${\displaystyle F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{ falls }}x<0\\1-p&{\text{ falls }}0\leq x<1\\1&{\text{ falls }}x\geq 1\end{cases}}}$

Ist allgemeiner ${\displaystyle X}$ eine Zufallsvariable mit Werten in den nichtnegativen ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$, dann gilt

${\displaystyle F_{X}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }P(X=k)}$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$ die Abrundungsfunktion, das heißt ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ist größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ${\displaystyle x}$ ist.

Eine Folge von Verteilungsfunktionen ${\displaystyle (F_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ heißt schwach konvergent gegen die Verteilungsfunktion ${\displaystyle F}$, wenn

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}$ gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, an denen ${\displaystyle F}$ stetig ist.[4]

Für Verteilungsfunktionen von Zufallsvariablen finden sich auch die Bezeichnungen konvergent in Verteilung oder stochastisch konvergent.[5]

Über die schwache Konvergenz der Verteilungsfunktionen lässt sich mit dem Satz von Helly-Bray eine Brücke zur schwachen Konvergenz von Maßen schlagen. Denn eine Folge von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist genau dann schwach konvergent, wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert. Analog ist eine Folge von Zufallsvariablen genau denn Konvergent in Verteilung, wenn die Folge ihrer Verteilungsfunktionen schwach konvergiert.

Einige Autoren nutzen diese Äquivalenz zur Definition der Konvergenz in Verteilung, da sie leichter zugänglich ist als die schwache Konvergenz der Wahrscheinlichkeitsmaße. Teilweise findet sich die Aussage des Satzes von Helly-Bray auch im Portmanteau-Theorem.

Für Verteilungsfunktionen im Sinne der Maßtheorie ist die oben angegebene Definition nicht korrekt, sondern entspricht der vagen Konvergenz von Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie). Diese fällt aber für Wahrscheinlichkeitsmaßen mit der schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen zusammen. Die schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen wird von dem Lévy-Abstand metrisiert.

Im Einflussbereich der Tradition Kolmogorows, namentlich der mathematischen Literatur des ehem. „Ostblocks“, findet sich parallel zur heute vorherrschenden „Kleiner-gleich“-Konvention der Verteilungsfunktion bis in die jüngere Vergangenheit eine weitere, die statt des Kleiner-gleich-Zeichens das Echt-kleiner-Zeichen verwendet,[6][7] also

${\displaystyle F(x)=P(X<x),\quad x\in \mathbb {R} }$

Bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen stimmen beide Definitionen überein, bei diskreten Verteilungen dagegen unterscheiden sie sich darin, dass die Verteilungsfunktion im Fall der „Echt-kleiner“-Konvention an den Sprungstellen nicht rechtsseitig, sondern linksseitig stetig ist.

Es ergibt sich beispielsweise für die Binomialverteilung bei der heute üblichen „Kleiner-gleich“-Konvention eine Verteilungsfunktion der Form

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$,

bei der „Echt-kleiner“-Konvention dagegen die Schreibweise

${\displaystyle F(x)=P(X<x)=\sum _{k=0}^{\lceil x-1\rceil }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}$.

Speziell für ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ gilt im zweiten Fall also[8]

${\displaystyle F(m)=\sum _{k=0}^{m-1}P(X=k)}$.

Die empirische Verteilungsfunktion einer Stichprobe ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ spielt eine wichtige Rolle in der Statistik. Formal entspricht sie der Verteilungsfunktion einer diskreten Gleichverteilung auf den Punkten ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$. Ihre Bedeutung hat sie daher, dass nach dem Satz von Gliwenko-Cantelli die empirische Verteilungsfunktion einer unabhängigen Stichprobe von Zufallszahlen gegen die Verteilungsfunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung konvergiert, mittels der die Zufallszahlen erzeugt wurden.

Die Gemeinsame Verteilungsfunktion verallgemeinert das Konzept einer Verteilungsfunktion von der Verteilung einer Zufallsvariablen auf die Gemeinsame Verteilung von Zufallsvariablen. Ebenso lässt sich das Konzept von der Randverteilung zur Rand-Verteilungsfunktion übertragen. Diese Verteilungsfunktionen haben gemeinsam, dass ihr Definitionsbereich der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ist für ${\displaystyle k\geq 1}$

Die Verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion bildet unter Umständen eine Umkehrfunktion zur Verteilungsfunktion und ist wichtig zur Bestimmung von Quantilen.

Verteilungsfunktionen können nicht nur für Wahrscheinlichkeitsmaße definiert werden, sondern für beliebige endliche Maße auf den reellen Zahlen. In diesen Verteilungsfunktionen (im Sinne der Maßtheorie) spiegeln sich dann wichtige Eigenschaften der Maße wider. Sie bilden eine Verallgemeinerung der hier besprochenen Verteilungsfunktionen.

Die Überlebensfunktion gibt im Gegensatz zu einer Verteilungsfunktion an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen gewissen Wert zu Überschreiten. Sie tritt beispielsweise bei der Modellierung von Lebensdauern auf und gibt dort an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, einen gewissen Zeitpunkt zu „überleben“.

Die Multivariate Verteilungsfunktion ist die Verteilungsfunktion, die multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugeordnet wird. Als mehrdimensionale Verteilungsfunktion wird hingegen meist das höherdimensionale Pendant der Verteilungsfunktion im Sinne der Maßtheorie bezeichnet.

Eine Mischverteilung beschreibt Mischungen von Zufallsgrößen, die unterschiedlichen Verteilungen folgen.