Verschiebungsstrom

Zur Herleitung des Verschiebungsstroms: S₁ (hellblau) und S₂ (hellrot) haben den gleichen Rand ∂S, so dass das Ampèresche Gesetz für beide Flächen zum gleichen Ergebnis führen sollte. Durch die Kreisfläche S₁ fließt der Leitungsstrom I und erzeugt ein Magnetfeld, während durch die Fläche S₂ kein Leitungsstrom fließt und demnach kein Magnetfeld vorliegt. Das Ergebnis des Ampèreschen Gesetzes hinge also von der Form der Oberfläche ab. Die Einführung des Verschiebungsstroms löst diesen Widerspruch auf.

Als Maxwell die bis dahin von anderen Physikern wie Ampère und Faraday zusammengetragenen Erkenntnisse über elektromagnetische Phänomene in den Maxwellschen Gleichungen zu vereinen suchte, wurde ihm klar, dass das Ampèresche Gesetz über die Erzeugung von Magnetfeldern durch Ströme nicht vollständig sein konnte.

Diese Tatsache wird durch ein einfaches Gedankenexperiment klar. Ein Strom I fließe durch einen langen Draht, in dem ein Kondensator liegt. Das Ampèresche Gesetz

${\displaystyle \oint _{S}{\vec {B}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=\mu _{0}I}$

besagt nun, dass das Wegintegral des Magnetfelds entlang eines beliebigen Weges um den Draht proportional zu dem Strom ist, der durch eine von diesem Weg aufgespannte Fläche fließt. Auch die differentielle Form

${\displaystyle \operatorname {rot} \,{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}}$

verlangt, dass die Wahl dieser aufgespannten Fläche beliebig ist. Nun habe der Integrationsweg die einfachste mögliche Form, ein Kreis um die Längsachse des Drahts (in der Grafik mit ∂S bezeichnet). Die natürlichste Wahl der durch diesen Kreis aufgespannten Fläche ist offenbar die Kreisfläche S₁. Wie erwartet schneidet diese Kreisfläche den Draht, somit ist der Strom durch die Fläche I. Aus der Symmetrie des Drahtes ergibt sich entsprechend für das Magnetfeld des langen Drahtes, dass dessen Feldlinien Kreisbahnen um die Längsachse sind.

Auch wenn man die Fläche beliebig „ausbeult“ oder „aufbläst“, fließt durch sie immer noch der gleiche Strom – es sei denn, man dehnt sie soweit aus, dass sie zwischen den beiden Kondensatorplatten verläuft. Durch diese Fläche S₂ fließt scheinbar kein Strom. Maxwell ging davon aus, dass das Ampèresche Gesetz nicht falsch, sondern nur unvollständig ist.

Durch den Kondensator fließt kein Strom, aber das elektrische Feld und damit der elektrische Fluss ändert sich beim Aufladen des Kondensators (es ist das elektrische Feld D ohne Einflüsse durch dielektrische Materie gemeint; in der Grafik mit E bezeichnet). Maxwell definierte einen Verschiebungsstrom nun als die Änderung des elektrischen Flusses durch die gegebene Oberfläche. Der Verschiebungsstrom ist daher kein Strom, bei dem Ladung transportiert wird. Vielmehr ist es eine anschauliche Bezeichnung für ebendiese Änderung des elektrischen Flusses, da sie offenbar die gleiche Wirkung hat wie ein richtiger Strom.

Der Verschiebungsstrom, die Änderung des elektrischen Flusses durch eine Oberfläche ${\displaystyle A}$, ist definiert durch

${\displaystyle I_{\mathrm {v} }={\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}$,		(1)

wobei der elektrische Fluss definiert ist durch:

${\displaystyle \Psi =\iint _{A}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$.		(2)

Für die elektrische Flussdichte ${\displaystyle {\vec {D}}}$ gilt:

${\displaystyle {\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}=\varepsilon _{\mathrm {r} }\varepsilon _{0}{\vec {E}}\rightarrow I_{\mathrm {v} }=\varepsilon _{\mathrm {r} }\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}={\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$		(3)

Der Faktor vor dem elektrischen Feld (${\displaystyle {\vec {E}}}$), die Permittivität ε, eliminiert hierbei dielektrische Effekte – wobei die Permittivität aus den beiden Dielektrizitätskonstanten, der Dielektrizitätskonstante ε₀ des Vakuums und der Konstante ε_r der entsprechenden Materie, besteht.

Analog gilt für das von dia- und paramagnetischen Effekten unberührte magnetische Feld:

${\displaystyle {\vec {H}}={\dfrac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}}$.		(4)

, wobei μ₀ die magnetische Feldkonstante und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ die magnetische Flussdichte repräsentieren. (Es handelt sich hier um eine Vereinfachung. In Materie gilt, berücksichtigt man Dia- und Paramagnetismus, ${\displaystyle {\vec {B}}=\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}{\vec {H}}}$ mit der magnetischen Permeabilität ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }}$. In ferromagnetischen Materialien gilt aber kein linearer Zusammenhang mehr. Weil es für das Problem dieses Artikels nicht relevant ist, bleibt also hier die Vereinfachung auf das Vakuum.)

Außerdem kann bekanntlich der (tatsächliche) Strom I durch einen Leiter als Oberflächenintegral einer Stromdichte j dargestellt werden:

${\displaystyle I=\iint _{A}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}$		(5)

Mit dieser Vorbereitung erhält man

${\displaystyle I_{\mathrm {v} }\;{\stackrel {(1)}{=}}\;{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}$		(6)

${\displaystyle \;{\stackrel {(3)}{=}}\;{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=\iint _{A}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {A}}}$

Dieser Verschiebungsstrom muss nun in das im ersten Abschnitt zitierte Ampère'sche Gesetz eingefügt werden:

${\displaystyle \oint _{S}{\vec {B}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=\mu _{0}(I+I_{\mathrm {v} })\quad \Leftrightarrow \quad \oint _{S}{\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=I+I_{\mathrm {v} }}$

${\displaystyle {{\stackrel {(4),(6)}{\Leftrightarrow }}\quad \oint _{S}{\vec {H}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=I+\iint _{A}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\mathrm {d} {\vec {A}}\quad {\stackrel {(5)}{\Leftrightarrow }}\quad \oint _{S}{\vec {H}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=\iint _{A}{\vec {J}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}+\iint _{A}{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}}}$

${\displaystyle \Leftrightarrow \quad \oint _{S}{\vec {H}}\cdot \;\mathrm {d} {\vec {s}}=\iint _{A}\left({\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} {\vec {A}}}$

womit die integrale Form der vierten Maxwellschen Gleichung erreicht ist.

Für die differentielle Formulierung fehlt nur noch die Definition einer Verschiebungsstromdichte für den Verschiebungsstrom analog zum Betrag der Stromdichte J des tatsächlichen Stromes I:

${\displaystyle {\vec {J}}_{\mathrm {v} }={\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$.		(7)

Man erhält

${\displaystyle \operatorname {rot} {\vec {B}}=\mu _{0}\left({\vec {J}}_{\mathrm {l} }+{\vec {J}}_{\mathrm {v} }\right)\quad \Leftrightarrow \quad \operatorname {rot} {\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {B}}={\vec {J}}_{\mathrm {l} }+{\vec {J}}_{\mathrm {v} }}$

${\displaystyle {\stackrel {(4),(7)}{\Leftrightarrow }}\quad \operatorname {rot} {\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}}$,

die differentielle Form der vierten Maxwellschen Gleichung.