Vermutung von Hodge

Sei ${\displaystyle V}$ eine nichtsinguläre algebraische Varietät der Dimension ${\displaystyle n}$ über den komplexen Zahlen. Dann kann ${\displaystyle V}$ als eine reelle Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle 2n}$ betrachtet werden und hat damit De-Rham-Kohomologiegruppen, die endlichdimensionale komplexe Vektorräume sind, indiziert durch eine Dimension ${\displaystyle d}$ mit ${\displaystyle d=0}$ bis ${\displaystyle 2n}$. Legt man einen geraden Wert ${\displaystyle d=2k}$ fest, dann sind zwei zusätzliche Strukturen auf der ${\displaystyle d}$-ten Kohomologiegruppe ${\displaystyle H}$ zu beschreiben.

Die eine ist die Hodge-Zerlegung von ${\displaystyle H}$, die ${\displaystyle H}$ in eine direkte Summe von ${\displaystyle 2k+1}$ Unterräumen

${\displaystyle H(0,2k),H(1,2k-1),\dotsc ,H(2k,0)}$

mit dem für die Vermutung relevanten zentralen Summanden ${\displaystyle H(k,k)}$ aufteilt.

Die andere ist eine sogenannte rationale Struktur auf ${\displaystyle H}$. Der Raum ${\displaystyle H}$ wurde als Kohomologiegruppe mit komplexen Koeffizienten gewählt (auf die sich die Hodge-Zerlegung bezieht). Beginnt man nun mit der Kohomologiegruppe mit rationalen Koeffizienten, bekommen wir eine Idee von einer rationalen Kohomologieklasse in ${\displaystyle H}$: Zum Beispiel kann eine Basis der Kohomologieklassen mit rationalen Koeffizienten als Basis für ${\displaystyle H}$ benutzt werden, und man betrachtet dann die Linearkombination mit rationalen Koeffizienten dieser Basisvektoren.

Unter diesen Bedingungen kann man den Vektorraum ${\displaystyle H^{*}}$, um den es bei der Vermutung von Hodge geht, definieren. Er besteht aus den Vektoren in ${\displaystyle H(k,k)}$, die rationale Kohomologieklassen sind, und ist ein endlichdimensionaler Vektorraum über den rationalen Zahlen.

Die Vermutung von Hodge sagt aus, dass die algebraischen Zykel von ${\displaystyle V}$ den gesamten Raum ${\displaystyle H^{*}}$ aufspannen, das heißt, dass die angegebenen Bedingungen, die notwendig für eine Kombination algebraischer Zykel sind, auch hinreichend sind.

Einige Standardverfahren erklären die Beziehung zur Geometrie von ${\displaystyle V}$. Wenn ${\displaystyle W}$ eine Untervarietät der Dimension ${\displaystyle n-k}$ in ${\displaystyle V}$ ist, genannt Kodimension zu ${\displaystyle k}$, begründet ${\displaystyle W}$ ein Element der Kohomologiegruppe ${\displaystyle H}$. Zum Beispiel in Kodimension 1, die der zugänglichste Fall geometrisch genutzter Hyperebenenschnitte ist, liegt die zugehörige Klasse in der zweiten Kohomologiegruppe und kann mit Mitteln der ersten Chern-Klasse des Geradenbündels berechnet werden.

Bekannt ist, dass solche Klassen, algebraische Zykel genannt (zumindest, wenn man nicht exakt wird), den notwendigen Bedingungen für die Konstruktion von ${\displaystyle H^{*}}$ genügen. Sie sind rationale Klassen und liegen im zentralen Summanden ${\displaystyle H(k,k)}$.

Die Vermutung ist bekannt für ${\displaystyle k=1}$ und viele weitere Spezialfälle. Zu Kodimensionen größer als 1 ist der Zugang schwieriger, da im Allgemeinen nicht alles durch wiederholte Hyperebenenschnitte gefunden werden kann.

Die Existenz nichtleerer Räume ${\displaystyle H^{*}}$ in diesen Fällen hat einen vorhersagenden Wert für den Teil der Geometrie von ${\displaystyle V}$, der nur schwer erreicht werden kann. In vorgegebenen Beispielen ist ${\displaystyle H^{*}}$ etwas, das wesentlich einfacher erörtert werden kann.

Dies gilt auch, wenn ${\displaystyle H^{*}}$ eine große Dimension hat, dann kann das gewählte ${\displaystyle V}$ als Spezialfall betrachtet werden, sodass die Vermutung das behandelt, was man interessante Fälle nennen könnte, und umso schwerer zu beweisen ist, je weiter man vom Allgemeinfall entfernt ist.

• Die Vermutung von Hodge beim Clay Mathematics Institute (von P. Deligne, englisch) (PDF-Datei; 147 kB)
• Dan Freed über die Hodge Vermutung, englisch