Vermutung von Andrica

Die ersten 500 Werte für ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$.

Es sei ${\displaystyle A_{n}:={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$.

Empirisch sinken diese Werte asymptotisch für steigendes ${\displaystyle n}$, sodass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Vermutung stimmt. Für alle ${\displaystyle A_{n}}$ mit ${\displaystyle n<26\cdot 10^{10}}$ wurde die Vermutung von H. J. Smith bestätigt[1], der größte gefundene Wert war ${\displaystyle A_{4}\approx 0{,}670873479}$.

Einige Werte, von denen jeweils vermutet wird, dass sie für größere ${\displaystyle n}$ nicht mehr übertroffen werden, sind der folgenden Tabelle zu entnehmen:

${\displaystyle n}$ Folge A084976 in OEIS	${\displaystyle p_{n}}$ Folge A084974 in OEIS	${\displaystyle A_{n}}$ Folge A084977 in OEIS
4	7	0,670873
30	113	0,639281
217	1327	0,463722
263	1669	0,292684
367	2477	0,260522
429	2971	0,256245
462	3271	0,244265
590	4297	0,228429
650	4831	0,215476
738	5591	0,213675
…
10655462	191912783	0,008950

Numerische Computerberechnungen bestärken die Vermutung; mittlerweile (2005[2]) wurden die Primzahlen bis ${\displaystyle 10^{16}}$ getestet. Ein formaler Beweis konnte dennoch bisher nicht erbracht werden.

Allgemeiner kann man etwa die Gleichung

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1}$

betrachten und nach maximalem bzw. minimalem ${\displaystyle x}$ suchen, das eine solche Gleichung erfüllt. Die Gleichung hat ihr

• Maximum trivialerweise bei ${\displaystyle n=1}$, d. h.

${\displaystyle 3^{x}-2^{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad x=1}$

• Minimum unter den ersten 1000 Primzahlen (und vermutlich auch allgemein) bei ${\displaystyle n=30}$, d. h.

${\displaystyle 127^{x}-113^{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad x=0{,}56714813\dots =a_{0}}$[3]

Dieses ${\displaystyle a_{0}}$ wird auch als (die) Smarandache-Konstante bezeichnet.[4]

Daraus entsteht die verallgemeinerte Andricasche Vermutung

${\displaystyle B_{n}=p_{n+1}^{a}-p_{n}^{a}<1\qquad {\text{für alle }}a<a_{0}.}$

Außerdem wird vermutet, dass

${\displaystyle C_{n}=p_{n+1}^{1/k}-p_{n}^{1/k}<{\frac {2}{k}}\qquad {\text{wobei }}k\geq 2,k\in \mathbb {N} ,n\in \mathbb {N} .}$

Die Vermutung von Andrica ist eine Verschärfung der Vermutung von Legendre, nach der zwischen jedem ${\displaystyle n^{2}}$ und ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ mindestens eine Primzahl existiert.

• Florentin Smarandache: Six Conjectures which Generalize or Are Related to Andrica's Conjecture. In: Octogon. Band 7, Nr. 1, 1999, S. 173–176. arxiv:0707.2584v1; vgl.: Perez

• Eric W. Weisstein: Andrica’s Conjecture. In: MathWorld (englisch).
• Andrics’s Conjecture, Archivlink abgerufen am 6. November 2022 und Generalized Andrica conjecture auf PlanetMath
• M. L. Perez: Five Smarandache Conjectures on Primes

1. Titu Andreescu: Number Theory. Springer Science & Business Media, 2009, ISBN 978-0-8176-4645-5, S. PT26 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math. John Wiley & Sons, 2005, S. 13.
3. Folge A038458 in OEIS
4. Sie ist nicht zu verwechseln mit den sechzehn Smarandacheschen Konstanten, die mit der Smarandache-Funktion in Verbindung stehen.