Verma-Modul

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ eine Cartan-Unteralgebra, ${\displaystyle R}$ das Wurzelsystem mit ${\displaystyle R^{+}}$ als Menge der positiven Wurzeln. Für jedes ${\displaystyle \alpha \in R^{+}}$ wählen wir ein ${\displaystyle X_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ und ${\displaystyle Y_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{-\alpha }}$.

Zu einem Gewicht ${\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ konstruiert man den Verma-Modul ${\displaystyle W_{\lambda }}$ als Quotient

${\displaystyle W_{\lambda }:=U({\mathfrak {g}})/I_{\lambda }}$

der universellen einhüllenden Algebra ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ nach dem Linksideal ${\displaystyle I_{\lambda }}$ erzeugt von allen Elementen der Form

${\displaystyle X_{\alpha },\alpha \in R^{+}}$

und

${\displaystyle H-\lambda (H)1,H\in {\mathfrak {h}}}$.

Für einen Vektor höchsten Gewichts ${\displaystyle v\in W_{\lambda }}$ ist die durch

${\displaystyle \Phi (x)=x\cdot v}$

definierte Abbildung ${\displaystyle \Phi \colon U({\mathfrak {g}})\to W_{\lambda }}$ ein surjektiver Homomorphismus.

Wir betrachten das Beispiel ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$. Für ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ wählen wir den Aufspann von ${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$.

Für ein beliebiges ${\displaystyle m\in \mathbb {C} }$ definieren wir ${\displaystyle \lambda \colon {\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ durch ${\displaystyle \lambda (H)=m}$. Wir wählen ${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)}$ und ${\displaystyle Y=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right)}$.

Dann wird der Verma-Modul ${\displaystyle W_{\lambda }}$ von linear unabhängigen Vektoren ${\displaystyle v_{0},v_{1},v_{2},\ldots }$ erzeugt und ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ wirkt durch

${\displaystyle X\cdot v_{j}=j(m-(j-1))v_{j-1},Y\cdot v_{j}=v_{j+1},H\cdot v_{j}=(m-2j)v_{j}}$.

Wegen ${\displaystyle X\cdot v_{m+1}=0}$ ist der von ${\displaystyle v_{m+1},v_{m+2},\ldots }$ aufgespannte Untervektorraum ein invarianter Unterraum. Der Quotient von ${\displaystyle W_{\lambda }}$ nach diesem Unterraum gibt die endlich-dimensionale Darstellung von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ mit höchstem Gewicht ${\displaystyle \lambda }$.

Zu jeder Darstellung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, deren höchstes Gewicht ${\displaystyle \lambda }$ ist, gibt es einen surjektiven Lie-Algebren-Homomorphismus ${\displaystyle W_{\lambda }\to V}$.

• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Humphreys, J. (1980), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer Verlag, ISBN 978-3-540-90052-8.