Kontinuumshypothese

Die sogenannte einfache Kontinuumshypothese CH (englisch continuum hypothesis) besagt:

Es gibt keine überabzählbare Menge reeller Zahlen, deren Mächtigkeit kleiner ist als die der Menge aller reellen Zahlen.

Anders ausgedrückt:

Es gibt keine Menge, deren Mächtigkeit zwischen der Mächtigkeit der natürlichen Zahlen und der Mächtigkeit der reellen Zahlen liegt.

Oder:

Jede unendliche Teilmenge ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist entweder gleichmächtig zu ${\displaystyle \mathbb {R} }$ oder zu ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (in dieser Form von Kurt Gödel und Cohen verwendet).[1]

Bezeichnet man, wie üblich, die Kardinalzahl (Mächtigkeit) der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (siehe Aleph-Funktion), die darauffolgende Kardinalzahl mit ${\displaystyle \aleph _{1}}$ und die Kardinalzahl der reellen Zahlen mit ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, so heißt die Kontinuumshypothese formal:

${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$.

Weiter kann man zeigen, dass die Mächtigkeit des Kontinuums mit der mit ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ bezeichneten Mächtigkeit der Potenzmenge von ${\displaystyle \mathbb {N} }$ übereinstimmt. Eine häufig anzutreffende Formulierung der Kontinuumshypothese lautet daher

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$.

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH, englisch generalized continuum hypothesis) besagt, dass für jede unendliche Menge ${\displaystyle X}$ Folgendes gilt:

Ist ${\displaystyle Y}$ eine Obermenge von ${\displaystyle X}$, die zu einer Teilmenge der Potenzmenge ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ von ${\displaystyle X}$ gleichmächtig ist, so ist ${\displaystyle Y}$ zu ${\displaystyle X}$ oder zu ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ gleichmächtig.

Hat man auch das Auswahlaxiom zur Verfügung, so hat jede Menge eine Kardinalzahl als Mächtigkeit, und die verallgemeinerte Kontinuumshypothese besagt, dass für jede unendliche Menge ${\displaystyle X}$ gilt:

Zwischen den Kardinalzahlen ${\displaystyle |X|}$ und ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|}$ liegt keine weitere Kardinalzahl.

Verwendet man die Aleph-Notation, so bedeutet dies:

Für jede Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha }$ gilt ${\displaystyle 2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}}$.

Mittels der Beth-Funktion lässt sich das noch kompakter schreiben:

Für jede Ordinalzahl ${\displaystyle \alpha }$ gilt ${\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }}$.

Da die erste Formulierung kein Auswahlaxiom verwendet, sind die nachfolgenden scheinbar schwächer. Tatsächlich folgt in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZF) aus der zuerst genannten Formulierung der verallgemeinerten Kontinuumshypothese nach einem Satz von Sierpiński das Auswahlaxiom.[2][3] Daher sind die gegebenen Formulierungen vor dem Hintergrund der ZF-Mengenlehre äquivalent.

Im Folgenden sei die Kontinuumshypothese (und das Auswahlaxiom) als wahr angenommen und es wird mit ihrer Hilfe eine nicht messbare Teilmenge der Ebene ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ konstruiert. Man beachte, dass dies auch ohne Kontinuumshypothese (aber mit Auswahlaxiom) möglich ist.

Sei ${\displaystyle \omega _{1}}$ die kleinste überabzählbare Ordinalzahl. Nach der Kontinuumshypothese gibt es dann eine Bijektion ${\displaystyle T\colon [0,1]\to \omega _{1}}$. Die ordinale Ordnung ${\displaystyle <}$ auf ${\displaystyle \omega _{1}}$ werde mit Hilfe dieser Bijektion auf ${\displaystyle [0,1]}$ übertragen: Für ${\displaystyle x,y\in [0,1]}$ gelte: ${\displaystyle x\prec y:\Leftrightarrow T(x)<T(y)}$.

Es sei ${\displaystyle A:=\{(x,y)\in [0,1]\times [0,1]\mid x\prec y\}}$. Mit ${\displaystyle 1_{A}}$ bezeichnen wir die Indikatorfunktion der Menge ${\displaystyle A}$, also ${\displaystyle 1_{A}\colon [0,1]\times [0,1]\to \{0,1\}}$ mit ${\displaystyle 1_{A}(x,y)=1}$ genau dann, wenn ${\displaystyle x\prec y}$.

Für jedes ${\displaystyle y\in [0,1]}$ sei ${\displaystyle A_{y}:=\{x\in [0,1]\mid x\prec y\}}$. Diese Menge ist für jedes ${\displaystyle y}$ abzählbar, da ${\displaystyle T(y)}$ als abzählbare Ordinalzahl nur abzählbar viele Vorgänger hat. Insbesondere ist daher ${\displaystyle A_{y}}$ immer eine Lebesgue-Nullmenge: ${\displaystyle \lambda (A_{y})=0}$.

Weiter definieren wir für jedes ${\displaystyle x\in [0,1]}$ die Menge ${\displaystyle A^{x}:=\{y\in [0,1]\mid x\prec y\}}$; das Komplement jeder dieser Mengen ist abzählbar, somit gilt ${\displaystyle \lambda (A^{x})=1}$.

Nimmt man an, dass ${\displaystyle 1_{A}}$ messbar ist, so gilt unter Verwendung des Lebesgue-Integrals und des Lebesgue-Maßes ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1_{A}(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}\lambda ({A_{y}})\,\mathrm {d} y=0,}$

aber

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1_{A}(x,y)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\lambda ({A^{x}})\,\mathrm {d} x=1.}$

Die Funktion ${\displaystyle 1_{A}}$ ist also eine Funktion, die nach dem Satz von Tonelli nicht Lebesgue-messbar sein kann, die Menge ${\displaystyle A}$ ist damit auch nicht messbar.

Wir betrachten Familien ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ganzer Funktionen, also solcher Funktionen ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$, die sich auf ganz ${\displaystyle \mathbb {C} }$ durch eine konvergente Potenzreihe darstellen lassen. Mit Hilfe des Identitätssatzes kann man folgende Aussage zeigen:

(1): Ist die Menge der Werte ${\displaystyle \{f(z)\mid f\in {\mathcal {F}}\}}$ für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ endlich, so ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ endlich.

Man beachte, dass in der Wertemenge die Funktion ${\displaystyle f}$ variiert und der Punkt ${\displaystyle z}$ fest ist, die Wertemenge und auch die Anzahl ihrer Elemente hängt von ${\displaystyle z}$ ab. Wir stellen nun die Frage, ob diese Aussage richtig bleibt, wenn wir „endlich“ durch „abzählbar“ ersetzen und fragen also nach der Gültigkeit von

(2): Ist die Menge der Werte ${\displaystyle \{f(z)\mid f\in {\mathcal {F}}\}}$ für jedes ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ abzählbar, so ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ abzählbar.

Paul Erdős fand folgende überraschende Antwort:[7]

Die Aussage (2) ist genau dann für jede Familie ganzer Funktionen wahr, wenn die Kontinuumshypothese (CH) falsch ist.

Waclaw Sierpinski zeigte die Äquivalenz der Kontinuumshypothese zu Sätzen der elementaren Geometrie:

• Es gibt eine Zerlegung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ als ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}=A\cup B\cup C}$, wobei ${\displaystyle A,B,C}$ jeweils endliche Schnittmengen mit jeder Parallelen zu den Koordinatenachsen ${\displaystyle x,y}$ bzw. ${\displaystyle z}$ haben – also ${\displaystyle A}$ mit Parallelen zur ${\displaystyle x}$-Achse, ${\displaystyle B}$ mit denen zur ${\displaystyle y}$-Achse und ${\displaystyle C}$ mit denen zur ${\displaystyle z}$-Achse (Sierpinski 1952).[8][9]
• Es gibt eine Zerlegung des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ in zwei Mengen ${\displaystyle A,B}$, wobei ${\displaystyle A}$ die Vertikalen (die Parallelen zur ${\displaystyle y}$-Achse) und ${\displaystyle B}$ die Horizontalen (die Parallelen zur ${\displaystyle x}$-Achse) in höchstens abzählbar unendlich vielen Punkten schneidet (Sierpinski 1919).[10][11] Oder in der Formulierung von Sierpinski in seinem Buch über die Kontinuumshypothese: Die Kontinuumhypothese ist äquivalent zu dem Satz Die Menge der Punkte der Ebene ist die Summe zweier Mengen ${\displaystyle A,B}$, wobei ${\displaystyle A}$ höchstens durch die Menge der Ordinaten und ${\displaystyle B}$ durch die der Abszissen abgezählt werden kann.[12]