Analytische Geometrie

Jeder Punkt ${\displaystyle P}$ der Ebene wird durch zwei Koordinaten beschrieben, z. B. ${\displaystyle P(2\mid -1{,}5)}$. Die Koordinaten nennt man üblicherweise (in dieser Reihenfolge) die ${\displaystyle x}$-Koordinate (auch: Abszisse) und die ${\displaystyle y}$-Koordinate (auch: Ordinate). Gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen ${\displaystyle x_{1}}$ und ${\displaystyle x_{2}}$.

Die zusammengefassten Koordinaten von Punkten bilden im ebenen Fall geordnete Paare.

Koordinatengleichung

${\displaystyle ax+by=\,\!c}$

Man spricht auch von der Normal(en)form der Geradengleichung, da der Vektor ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}}$ senkrecht (normal) zur Geraden steht.

Parametergleichung

${\displaystyle {\overrightarrow {OX}}={\overrightarrow {OA}}+\lambda {\vec {u}}}$

Dabei ist ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\vec {A}}}$ der Ortsvektor eines beliebigen, aber fest gewählten Punktes der Geraden (Stützpunkt); ${\displaystyle {\vec {u}}}$ ist ein so genannter Richtungsvektor, also ein Vektor, dessen Richtung parallel zur Geraden ist.

Durch eine (implizite Koordinaten-)Gleichung zweiten Grades

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cxy+Dx+Ey+F=0}$

ist im Allgemeinen ein Kegelschnitt gegeben. Je nach den Werten der Koeffizienten kann es sich dabei um eine Ellipse (Spezialfall: Kreis), eine Parabel oder eine Hyperbel handeln.

Jeder Punkt ${\displaystyle P}$ des Raumes ist durch drei Koordinaten bestimmt, z. B. ${\displaystyle P=P(4\mid -0{,}5\mid -3)}$. Jedem Punkt ${\displaystyle P}$ ordnet man seinen Ortsvektor ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$ zu, das ist der Verbindungsvektor des Ursprungs des Koordinatensystems mit dem gegebenen Punkt. Seine Koordinaten entsprechen denen des Punktes ${\displaystyle P}$, werden aber als Spaltenvektor geschrieben:

${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}={\begin{pmatrix}4\\-0{,}5\\-3\end{pmatrix}}}$

Die Koordinaten werden (in dieser Reihenfolge) als ${\displaystyle x}$-, ${\displaystyle y}$- und ${\displaystyle z}$-Koordinate oder als ${\displaystyle x_{1}}$-, ${\displaystyle x_{2}}$- und ${\displaystyle x_{3}}$-Koordinate bezeichnet.

Die zusammengefassten Koordinaten von Punkten bilden im räumlichen Fall 3-Tupel.

Koordinatengleichungen

Geraden im Raum können nicht durch eine einzige Koordinatengleichung beschrieben werden. Man kann eine Gerade aber stets als Durchschnitt (Schnittmenge) zweier Ebenen auffassen und Koordinatengleichungen dieser beiden Ebenen (siehe unten) verwenden, um die Gerade eindeutig festzulegen.

Parametergleichung

${\displaystyle {\overrightarrow {OX}}={\overrightarrow {OA}}+\lambda {\vec {u}}}$

Die Gleichung hat also dieselbe Form wie im zweidimensionalen Fall.

Koordinatengleichung

${\displaystyle ax+by+cz=\,\!d}$

Diesen Typ der Ebenengleichung bezeichnet man als Normal(en)form, da der Vektor ${\displaystyle {\vec {n}}={\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}}$ senkrecht (normal) zur Ebene steht.

Parametergleichung

${\displaystyle {\overrightarrow {OX}}={\overrightarrow {OA}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\vec {A}}}$ ist der Ortsvektor eines beliebigen, aber fest gewählten Punktes der Ebene (Stützpunkt); ${\displaystyle {\vec {u}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$ sind linear unabhängige Richtungsvektoren (oder Spannvektoren), also Vektoren parallel zur Ebene, die die Ebene „aufspannen“.

Die allgemeine Koordinatengleichung zweiten Grades

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0}$

beschreibt eine Fläche zweiter Ordnung. Die wichtigsten Spezialfälle sind:

Ellipsoid, elliptisches Paraboloid, hyperbolisches Paraboloid, einschaliges Hyperboloid, zweischaliges Hyperboloid, Kegel, elliptischer Zylinder, parabolischer Zylinder, hyperbolischer Zylinder.

Hier geht es darum festzustellen, ob ein gegebener Punkt zu einer gegebenen Punktmenge (etwa zu einer Geraden) gehört.

Als Beispiel soll die Gerade mit der expliziten Koordinatengleichung

${\displaystyle y=2\cdot x-3}$

betrachtet werden.

Der Punkt ${\displaystyle P(2|1)}$ liegt auf dieser Geraden, wie man durch Einsetzen der Koordinaten ${\displaystyle x=2}$ und ${\displaystyle y=1}$ (Punktprobe) erkennt:

${\displaystyle 1=2\cdot 2-3}$

Der Punkt ${\displaystyle S(4|2)}$ hingegen liegt nicht auf der Geraden. Für ${\displaystyle x=4}$ und ${\displaystyle y=2}$ gilt nämlich

${\displaystyle 2\neq 2\cdot 4-3}$.

Es soll geprüft werden, ob der Punkt ${\displaystyle Q(-1\mid 9\mid -2)}$ auf der Geraden mit folgender Parameterform liegt:

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}-7\\7\\-6\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}}}$ .

Wird für ${\displaystyle {\vec {x}}}$ der Ortsvektor ${\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}}$ von ${\displaystyle Q}$ eingesetzt, so führt das zu folgenden 3 Gleichungen:

${\displaystyle {\begin{matrix}-1&=&-7&+&t\cdot 3&\Rightarrow &t=2\\9&=&7&+&t\cdot 1&\Rightarrow &t=2\\-2&=&-6&+&t\cdot 2&\Rightarrow &t=2\\\end{matrix}}}$

Da ${\displaystyle t}$ in allen drei Fällen denselben Wert hat (hier ${\displaystyle 2}$), liegt ${\displaystyle Q}$ auf der Geraden.

Die Bestimmung der Schnittmenge zweier Punktmengen (z. B. des Schnittpunkts zweier Geraden) läuft auf das Lösen eines Gleichungssystems hinaus. Je nachdem, in welcher Form die beiden Punktmengen beschrieben werden, variiert das Verfahren ein wenig:

Fall 1

Beide Punktmengen sind durch Koordinatengleichungen gegeben.

In diesem Fall wird die Schnittmenge durch die Gesamtheit der Koordinatengleichungen beschrieben.

Fall 2

Beide Punktmengen sind durch Parametergleichungen gegeben.

Die Schnittmenge erhält man durch Gleichsetzen der rechten Seiten dieser Gleichungen.

Fall 3

Eine der Punktmengen ist durch eine Koordinatengleichung gegeben, die andere durch eine Parametergleichung.

In diesem Fall setzt man die einzelnen Koordinaten der vektoriellen Parametergleichung in die Vektorgleichung ein.

Es soll geprüft werden, ob und wo sich die Graphen der Funktionen ${\displaystyle g(x)}$ und ${\displaystyle f(x)}$ schneiden. Dabei entspricht ${\displaystyle g(x)=2x^{2}-2}$ und ${\displaystyle f(x)=2x+2}$:

Um die Schnittpunkte zu berechnen, werden nun die Funktionsterme der Gleichungen der beiden Funktionen gleichgesetzt. Auf diese Weise findet man die ${\displaystyle x}$-Koordinate(n), für welche die beiden Funktionen die gleiche ${\displaystyle y}$-Koordinate haben:

${\displaystyle {\begin{matrix}2x^{2}&-&2&=&2\cdot x&+&2\\2x^{2}&-&2\cdot x&-&4&=&0\\x^{2}&-&x&-&2&=&0\\\end{matrix}}}$

Das Lösen dieser quadratischen Funktion führt zu den Lösungen: ${\displaystyle x_{1}=-1}$ und ${\displaystyle x_{2}=2}$.

Durch Einsetzung in eine der beiden anfänglichen Gleichungen ergibt das die Schnittpunkte bei: ${\displaystyle S_{1}(-1|0)}$ und ${\displaystyle S_{2}(2|6)}$.

Es soll geprüft werden, ob und in welchem Punkt sich die beiden Geraden ${\displaystyle g_{1}}$ und ${\displaystyle g_{2}}$ schneiden. Die beiden Geraden seien definiert wie folgt:

${\displaystyle g_{1}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}\qquad \left(s\in \mathbb {R} \right)}$

${\displaystyle g_{2}:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2480\\105\\1167\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}150\\120\\1\\\end{pmatrix}}\qquad \left(t\in \mathbb {R} \right)}$

Wie im zweidimensionalen Raum werden auch hier die beiden Gleichungen gleichgesetzt:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2480\\105\\1167\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}150\\120\\1\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle s\cdot {\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}-t\cdot {\begin{pmatrix}-150\\-120\\-1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2500\\135\\-33\\\end{pmatrix}}}$

Die Vektorgleichung kann man in folgende 3 Gleichungen zerlegen:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccl|l}-100\cdot s&-&150\cdot t&=&-2500&\cdot 3/50\\225\cdot s&-&120\cdot t&=&135&:5\\-3\cdot s&-&1\cdot t&=&-33&\cdot (-2)\\\end{array}}\Leftrightarrow {\begin{array}{ccccl}-6\cdot s&-&9\cdot t&=&-150\\45\cdot s&-&24\cdot t&=&27\\6\cdot s&+&2\cdot t&=&66\\\end{array}}}$

Addieren der ersten und letzten Gleichung liefert ${\displaystyle -7\cdot t=-84}$ bzw. ${\displaystyle t=12}$. Aus der ersten Gleichung ergibt sich damit durch Einsetzen ${\displaystyle -6\cdot s=-42}$, also ${\displaystyle s=7}$. Diese Lösung erfüllt auch die zweite Gleichung, denn ${\displaystyle 45\cdot 7-24\cdot 12=27}$.

Den Ortsvektor des Schnittpunktes der Geraden erhält man, indem man einen der beiden berechneten Parameter (${\displaystyle s}$) in die entsprechende Gerade (${\displaystyle g_{1}}$) einsetzt:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}20\\-30\\1200\\\end{pmatrix}}+7\cdot {\begin{pmatrix}-100\\225\\-3\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-680\\1545\\1179\\\end{pmatrix}}\Rightarrow S\left(-680|1545|1179\right)}$