Value at Risk

Der Value at Risk ist heute ein Standardrisikomaß im Finanzsektor. Mittlerweile wird das Maß auch in Industrie- und Handelsunternehmen zur Risikomessung eingesetzt.

Ein Vermögensgegenstand zum Value at Risk von 10 Mio. EUR bei einer Haltedauer von einem Tag und einem Konfidenzniveau von 97,5 % bedeutet, dass der potenzielle Verlust der betrachteten Risikoposition von einem Tag auf den nächsten mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,5 % den Betrag von 10 Mio. EUR nicht überschreiten wird.

Der VaR zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ ist das ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der Verlustfunktion, welche die negative Wertveränderung einer Risikoposition über eine fixierte Zeitspanne, die in diesem Zusammenhang Haltedauer heißt, misst. Der VaR ist also ein Maß für das Verlustrisiko.

Die Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ beschreibe die Verlustfunktion des Portfolios über den betrachteten Zeitraum. Ein Verlust ist in der Verlustfunktion positiv, ein Gewinn negativ. Die zugehörige Verteilungsfunktion sei mit ${\displaystyle F_{X}}$ bezeichnet. Der VaR zu einem gegebenen Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ wird dann wie folgt anhand der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion (Quantilfunktion) definiert:

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X]=F_{X}^{-1}(1-\alpha )=\inf {\big \{}x\in \mathbb {R} :F_{X}(x)\geq 1-\alpha {\big \}}}$.

Man kann den VaR auch über die Gewinnfunktion an Stelle der Verlustfunktion definieren: Die Zufallsvariable ${\displaystyle Y:=-X}$ beschreibe die Gewinnfunktion des Portfolios über den betrachteten Zeitraum und die zugehörige Verteilungsfunktion sei mit ${\displaystyle F_{Y}}$ bezeichnet. Der VaR zum Konfidenzniveau ${\displaystyle 1-\alpha }$ ist dann gegeben durch

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X]=-\inf {\big \{}y\in \mathbb {R} :F_{Y}(y)>\alpha {\big \}}}$.

Falls die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle X}$ (und damit auch die von ${\displaystyle Y}$) stetig und streng monoton ist, gilt

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X]=-\mathrm {VaR} _{\alpha }[Y]=-F_{Y}^{-1}(\alpha )}$.

Der VaR ist monoton im Konfidenzniveau, es gilt also

${\displaystyle 1-\alpha <1-\alpha '\implies \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X]\leq \mathrm {VaR} _{1-\alpha '}[X]\;.}$

Ein höheres Konfidenzniveau führt also zu einem höheren oder – in Spezialfällen – gleichhohen VaR.

Als Risikomaß wird der VaR zum Vergleich verschiedener Verlustverteilungen eingesetzt. Der VaR besitzt als Risikomaß folgende Eigenschaften:

• Der VaR ist monoton bezüglich der stochastischen Dominanz, aus

${\displaystyle X\leq _{\mathrm {st} }X',\quad {\text{das heißt}}\ F_{X}(t)\geq F_{X'}(t)\ {\text{für alle}}\ t\in \mathbb {R} }$,

folgt

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X]\leq \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X']}$.

• Der VaR ist translationsinvariant, d. h.

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[b+X]=b+\mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X],\quad b\in \mathbb {R} }$

• Der VaR ist positiv homogen, d. h.

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[cX]=c\mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X],\quad c\geq 0}$

• Der VaR ist im Allgemeinen nicht subadditiv. Der VaR ist aber subadditiv bei Beschränkung auf bestimmte Sicherheitsniveaus und auf bestimmte Klassen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, z. B Normalverteilungen. Wenn beispielsweise die Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$ und ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$ normalverteilt sind, dann gilt

${\displaystyle \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X_{1}+X_{2}]\leq \mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X_{1}]+\mathrm {VaR} _{1-\alpha }[X_{2}]\quad {\text{für }}\ 1/2\leq 1-\alpha <1.}$

Eine längere Haltedauer führt bei Marktrisikomodellen in der Regel zu einem höheren VaR als Folge der unterstellte Annahme eines Random-walk-Prozesses oder einer vergleichbaren Annahme. Dies ist keine formale Eigenschaft des VaR, sondern des unterstellten stochastischen Modells, vgl. dazu die beiden letzten Beispiele im folgenden Abschnitt.

• Ist ${\displaystyle X}$ eine normalverteilte Verlustvariable mit dem Erwartungswert ${\displaystyle \mu }$ und der Standardabweichung ${\displaystyle \sigma }$, dann gilt

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X]=\mu +z_{1-\alpha }\sigma ,\quad 0<\alpha <1\;,}$

wobei ${\displaystyle z_{1-\alpha }}$ das ${\displaystyle (1-\alpha )}$-Quantil der Standardnormalverteilung bezeichnet. Es gilt ${\displaystyle z_{1-\alpha }=\Phi ^{-1}(1-\alpha )}$, wobei ${\displaystyle \Phi }$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

• Für eine lognormalverteilte Verlustvariable ${\displaystyle X\sim {\mathcal {LN}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ gilt

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X]=\mathrm {e} ^{\mu +z_{1-\alpha }\sigma },\quad 0<\alpha <1\;.}$

• Für eine auf dem Intervall${\displaystyle [a,b]}$ stetig gleichverteilte Verlustvariable gilt

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X]=a+(b-a)(1-\alpha ),\quad 0<\alpha <1\;.}$

• Für eine auf den ${\displaystyle m}$ Stellen ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{m}}$ diskret gleichverteilte Verlustvariable ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle P(X=x_{i})={\tfrac {1}{m}}}$ für ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$ gilt

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X]={\begin{cases}x_{j}&{\text{für}}\ {\frac {j-1}{m}}<1-\alpha \leq {\frac {j}{m}},\quad j=1,\dots ,m-1\\x_{m}&{\text{für}}\ {\frac {m-1}{m}}<1-\alpha <1\end{cases}}\;.}$

• Für die Verlustvariablen ${\displaystyle X_{t}=\sum _{j=1}^{t}U_{j}}$ mit stochastisch unabhängigen und identisch normalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle U_{j}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ für ${\displaystyle j=1,\dots ,t}$ gilt ${\displaystyle X_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,t\sigma ^{2})}$ und daher

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X_{t}]={\sqrt {t}}z_{1-\alpha }\sigma }$.

Der sich daraus ergebende Zusammenhang

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X_{t}]={\sqrt {t}}\operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X_{1}]}$

wird als näherungsweise gültige Skalierungsformel auch in allgemeineren Zusammenhängen verwendet, um von einer Risikomaßzahl ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X_{1}]}$, die sich auf eine Periode bezieht, auf eine Risikomaßzahl ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X_{t}]}$ zu schließen, die sich auf ${\displaystyle t}$ Perioden bezieht.

• Für die Verlustvariablen ${\displaystyle X_{t}=\sum _{j=1}^{t}U_{j}}$ mit stochastisch unabhängigen und identisch normalverteilten Zufallsvariablen ${\displaystyle U_{j}\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$ für ${\displaystyle j=1,\dots ,t}$ gilt ${\displaystyle X_{t}\sim {\mathcal {N}}(t\mu ,t\sigma ^{2})}$ und daher

${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X_{t}]=t\mu +{\sqrt {t}}z_{1-\alpha }\sigma }$.

Für ${\displaystyle 1/2\leq 1-\alpha <1}$ gilt ${\displaystyle z_{1-\alpha }\geq 0}$. Für ${\displaystyle \mu >0}$ und ${\displaystyle 1/2\leq 1-\alpha <1}$ und für ${\displaystyle \mu =0}$ und ${\displaystyle 1/2<1-\alpha <1}$ ist ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X_{t}]}$ positiv und nimmt mit wachsendem ${\displaystyle t}$. Für einen negativen ${\displaystyle \mu }$-Wert, der einer positiven Gewinnerwartung entspricht, und einen positiven ${\displaystyle z_{1-\alpha }}$-Wert, der einem Konfidenzniveau entspricht, das größer als 1/2 ist, haben die beiden Summanden einen gegenläufige Wirkung auf ${\displaystyle \operatorname {VaR} _{1-\alpha }[X_{t}]}$.

Mit dem VaR kann man unterschiedliche Risikoarten messen. So kann das Risiko eines Aktienportfolios, eines Zinsportfolios oder auch eines Kreditportfolios mit Hilfe des VaR beschrieben werden, wobei die betriebswirtschaftliche Interpretation der Kennzahl immer die gleiche ist. Ebenso könnte für gemischte Portfolios, die aus mehreren verschiedenen Assetklassen zusammengesetzt werden, der VaR gemessen werden, sofern die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung des gemischten Portfolios berechenbar ist. In der Praxis scheitert dies jedoch häufig daran, dass die Interdependenzen zwischen den verschiedenen Assetklassen nicht modelliert werden können (z. B. weil keine Korrelationskoeffizienten bekannt sind).

Der VaR kann grundsätzlich für jedes stochastisch modellierbare Risiko angewendet werden. In der Praxis finden sich jedoch meist spezifische Anwendungen.

Das Value-at-Risk-Konzept besitzt Schwächen.[8] Für Marktpreisrisikomodelle sind insbesondere folgende bedeutsam:

• Um über eine ausreichend große Datenbasis an historischen Beobachtungen zu verfügen, wird meist nur eine kurze Haltedauer (ein bis zehn Tage) für die Bestimmung der risikobestimmenden Marktpreisänderungen verwendet. Dadurch ist auch der Prognosehorizont des Value at Risk auf diese kurze Periode eingeschränkt. Durch Unterstellung einer passenden Verteilungsannahme (z. B. die Wurzel-T-Regel) kann zwar der Prognosehorizont rechnerisch erweitert werden, die Zuverlässigkeit des so errechneten Value-at-Risks hängt dann aber von der Gültigkeit der Verteilungsannahme ab.
• Das Value-at-Risk-Konzept setzt liquide Märkte voraus, das heißt Märkte, in denen sich die eigene Position ohne wesentlichen Einfluss auf den Marktpreis verkaufen oder absichern lässt (siehe Marktliquiditätsrisiko und Market Impact).

Allgemeine Schwachpunkte sind:

• Der Value at Risk ist ein nicht subadditives und damit kein kohärentes Risikomaß. Es ist also möglich, dass die Summe der VaR-Werte von Teilportfolios kleiner ist als der VaR-Wert des Gesamtportfolios. Mögliche Diversifikationseffekte, die das Risiko reduzieren könnten, werden also nicht immer berücksichtigt. Allerdings ist umstritten, ob Subadditivität in der Praxis wünschenswert ist.[9][10][11] Falls Subadditivität gewünscht ist, wäre der Expected Shortfall eine mögliche Option.
• Das Value-at-Risk-Konzept unterstellt (wie andere Prognosemethoden auch), dass sich Ereignisse in (naher) Zukunft verhalten werden wie sich die Ereignisse in der Vergangenheit verhalten haben. Diese Annahme ist vor allem dann falsch, wenn nach einer längeren ruhigen Phase eine Krisenphase entsteht. Um diesen Mangel zu beheben, werden ergänzend oft Stresstests berechnet.
• Häufig wird unkritisch davon ausgegangen, dass die zugrundeliegenden Daten normalverteilt sind. In der Praxis sind jedoch Extremereignisse oft häufiger zu beobachten, als dies die Normalverteilung nahelegt. Diese Schwachstelle kann behoben werden, wenn statt der Normalverteilung realitätsnähere Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet werden.
• Der Value-at-Risk-Ansatz liefert konstruktionsbedingt keine Information über das durchschnittliche Schadensausmaß aller jenseits der Quantilgrenze liegenden ungünstigen Szenarien. Hierfür gibt es das Risikomaß Expected Shortfall, das gerade diesen Durchschnitt betrachtet.
• Häufig wird als Nachteil des Value-at-Risk-Ansatzes angeführt, dass er nicht geeignet ist, den Maximalverlust zu bestimmen. Dieser Nachteil ist in der Praxis jedoch meist wenig relevant, da es normalerweise nicht zu den Zielen des Unternehmens gehört, den theoretisch möglichen Maximalverlust zu bestimmen oder zu steuern. Eine vollkommene Sicherheit kann es normalerweise nicht geben; ein rentables Unternehmen muss auch ein Mindestmaß an Risiko tragen. Eine praxisorientierte Risikomessung muss sich daher an Szenarien orientieren, die ein gewisses Mindestmaß an Eintrittswahrscheinlichkeit aufweisen.

• Cashflow at Risk

• Philippe Jorion: Value at Risk – The New Benchmark for Managing Financial Risk. 3. Auflage. McGraw Hill, 2007, ISBN 978-0-07-146495-6.

• Value-at-Risk. (Memento vom 4. März 2012 im Internet Archive) im Riskglossary
• VaR-Berechnungsverfahren (Varianz-Kovarianz-Modell, Historische Simulation, Monte Carlo Simulation) (PDF-Datei; 287 kB)
• VaR bei Investopedia
• pdf zum VaR, dessen Probleme und exp. shortfall (93 kB)

1. Stefan Huschens: Value-at-Risk-Berechnung durch historische Simulation. In: Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren. Nr. 30. Technische Universität Dresden, 2000, doi:10.13140/RG.2.2.14440.37120.
2. Robert Schwarz: Kreditrisikomodelle. Working Paper Series der University of Applied Sciences of bfi Vienna
3. Roland Eller, Walter Gruber, Markus Reif (Hrsg.): Handbuch Kreditrisikomodelle und Kreditderivate. Schäffer-Poeschel Verlag, Stuttgart 1999, ISBN 3-7910-1411-0.
4. Christian Cech: Die IRB Formel. Working Paper Series der University of Applied Sciences of bfi Vienna.
5. csfb.com
6. Ratio calculandi periculi – ein analytischer Ansatz zur Bestimmung der Verlustverteilung eines Kreditportfolios. (= Dresdner Beiträge zu Quantitativen Verfahren. Nr. 58/12). Technische Universität Dresden, 2012. (online (Memento vom 24. April 2016 im Internet Archive))
7. The benchmark for understanding credit risk. auf: defaultrisk.com
8. Siehe z. B. Thomas Wolke: Risikomanagement. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2008, ISBN 978-3-486-58714-2, S. 58 ff.
9. H. Rau-Bredow: Bigger Is Not Always Safer: A Critical Analysis of the Subadditivity Assumption for Coherent Risk Measures. In: Risks. 7. Jahrgang, Nr. 3, 2019, S. 91, doi:10.3390/risks7030091.
10. J. Dhaene, M. J. Goovaerts, R. Kaas: Economic capital allocation derived from risk measures. In: North American Actuarial Journal. 7, 2003, S. 44–56.
11. M. H. A. Davis: Consistency of risk measures estimates, Working Paper. Imperial College, London 2014. (abstract)