V-A-Theorie

1936 postulierte Fermi seine Theorie zur Beschreibung des Beta-Zerfalls in Form des Hamiltonoperators

${\displaystyle {\mathcal {\hat {H}}}_{\mathrm {Fermi} }={\frac {G_{\mathrm {F} }}{\sqrt {2}}}\int \mathrm {d} ^{3}x\cdot j_{H}^{\mu }(x)\cdot j_{L\mu }(x)}$

• ${\displaystyle G_{\mathrm {F} }}$ ist die Fermi-Konstante,
• ${\displaystyle j_{H}^{\mu }(x)}$ und ${\displaystyle j_{L}^{\mu }(x)}$ sind die 4-dimensionalen Stromdichten für Hadronen bzw. Leptonen (in Fermis Theorie nur für die am Beta-Zerfall beteiligten Hadronen Proton und Neutron sowie für die an ihm beteiligten Leptonen Elektron und Elektron-Neutrino). Die Stromdichten hängen mit den Wellenfunktionen bzw. Feldern ${\displaystyle \psi }$ zusammen über:

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$,

darin sind ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ die Dirac-Matrizen.

1956 veröffentlichten Tsung-Dao Lee und Chen Ning Yang die Hypothese, nach der bei der schwachen Wechselwirkung, im Gegensatz zur starken und zur elektromagnetischen Wechselwirkung, die Parität nicht erhalten bleibt. Dabei hatten sie auch mehrere spezielle Experimente vorgeschlagen. Die Beobachtung gelang Chien-Shiung Wu, wodurch eine Anpassung des bis dahin paritätserhaltenden Stroms nötig wurde.

Ein Jahr darauf entwickelten Richard Feynman, Murray Gell-Mann[1] und unabhängig von ihnen George Sudarshan und Robert Marshak[2][3] die V-A-Wechselwirkung. Dazu muss in den Hamiltonoperator ein axialer Vektorstrom eingeführt werden, auf den der Paritätsoperator eine andere Wirkung hat als auf polare Ströme. Ein solcher axialer Strom mit paritätsverletzendem Anteil kann geschrieben werden als

${\displaystyle j^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(g_{v}-g_{a}\gamma _{5})\psi }$,

darin

• transformiert ${\displaystyle \gamma _{5}}$ einen polaren in einen axialen Vektor.
• sind ${\displaystyle g_{v}}$ und ${\displaystyle g_{a}}$ Koeffizienten, die das Verhältnis zwischen polaren und axialen Vektorströmen angeben:
  • Hadronen sind ausgedehnte Teilchen, sie bestehen aus Quarks; daher findet man bei ihnen experimentell ${\displaystyle {g_{v}}_{H}=1}$ und ${\displaystyle {g_{a}}_{H}\approx 1{,}25}$.
  • Leptonen sind Punktteilchen, daher ist für sie ${\displaystyle {g_{v}}_{L}=1={g_{a}}_{L}}$.

Der Hamiltonoperator für die V-A-Wechselwirkung ergibt sich zu

${\displaystyle \Rightarrow {\mathcal {\hat {H}}}_{\mathrm {V-A} }={\frac {G_{\mathrm {F} }}{\sqrt {2}}}\int \mathrm {d} ^{3}x\cdot {\bar {\psi }}_{p}\gamma ^{\mu }(1-{g_{a}}_{H}\gamma _{5})\psi _{n}\cdot {\bar {\psi }}_{e}\gamma _{\mu }(1-\gamma _{5})\psi _{\nu }}$

• ${\displaystyle \psi _{p}}$, ${\displaystyle \psi _{n}}$, ${\displaystyle \psi _{e}}$, ${\displaystyle \psi _{\nu }}$ sind die Proton-, Neutron-, Elektron- und Elektron-Neutrino-Felder.

Um die Theorie auf alle drei Generationen der Elementarteilchen anwendbar zu machen, muss man die Ströme mit den restlichen Teilchen-Feldern erweitern und die CKM-Matrix einführen.