Urysohn-Raum

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Wir sagen, dass zwei Punkte ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ durch abgeschlossene Umgebungen getrennt sind, falls disjunkte abgeschlossene Umgebungen von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ existieren.[1][2][3][4]

${\displaystyle X}$ ist ein Urysohn-Raum, falls je zwei verschiedene Punkte durch abgeschlossene Mengen getrennt sind. Man sagt auch, dass ${\displaystyle X}$ das Trennungsaxiom T_2½ erfüllt.

Jeder Urysohn-Raum ist ein Hausdorff-Raum und erfüllt somit die Trennungsaxiome ${\displaystyle T_{0},T_{1}}$ und ${\displaystyle T_{2}}$.

Andererseits ist jeder reguläre Hausdorff-Raum wie auch jeder vollständige Hausdorff-Raum ein Urysohn-Raum.

Im Folgenden konstruieren wir einen topologischen Raum, der ein Urysohn-Raum, aber kein regulärer Raum und auch kein vollständiger Hausdorff-Raum ist. Sei dazu ${\displaystyle S}$ die Menge der rationalen Punkte im Einheitsquadrat in ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$, ohne die Paare, mit der ersten Koordinate ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. Weiter sei ${\displaystyle X}$ die Menge ${\displaystyle S}$ vereinigt mit den Punkten ${\displaystyle (0,0)}$ und ${\displaystyle (1,0)}$ und allen Punkten ${\displaystyle (1/2,r{\sqrt {2}})}$, wobei ${\displaystyle r}$ über alle rationalen Zahlen ${\displaystyle 0<r<1/{\sqrt {2}}}$ läuft. Die offenen Mengen sind durch folgende Umgebungsbasen gegeben:

• für die Punkte aus ${\displaystyle S}$ die von der euklidischen Topologie induzierten,
• für ${\displaystyle (0,0)}$ die Punkte der Form ${\displaystyle (x,y)}$, wobei ${\displaystyle 0<x<1/4}$ und ${\displaystyle 0<y<1/n}$ für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$ zusammen mit ${\displaystyle (0,0)}$,
• für ${\displaystyle (1,0)}$ die Punkte der Form ${\displaystyle (x,y)}$, wobei ${\displaystyle 3/4<x<1}$ und ${\displaystyle 0<y<1/n}$ für alle natürlichen Zahlen ${\displaystyle n}$, zusammen mit ${\displaystyle (1,0)}$,
• für ${\displaystyle (1/2,r{\sqrt {2}})}$ die Punkte der Form ${\displaystyle (x,y)}$, wobei ${\displaystyle 1/4<x<3/4}$ und ${\displaystyle |y-r{\sqrt {2}}|<1/n}$.

In einem vollständigen Hausdorff-Raum gibt es definitionsgemäß zu je zwei verschiedenen Punkten eine Urysohn-Funktion, so dass es durchaus naheliegend wäre, die Definitionen für Urysohn-Raum und vollständiger Hausdorff-Raum auszutauschen. Genau das ist im unten angegebenen Buch Counterexamples in Topology geschehen.[5] Man sollte daher die von einem Autor verwendeten Definitionen prüfen.

1. Stephen Willard: General Topology. Adison-Wesley-Publ., 1998, ISBN 0-486-43479-6, Aufgabe 14F.
2. Steven A. Gall: Point Set Topology. Dover Publ., 2009, ISBN 978-0-486-47222-5, Kap II.2, S. 83.
3. Michel Coornaert: Topological Dimension and Dynamical Systems. Springer-Verlag, 2015, ISBN 978-3-319-19793-7, Kap. I.5, S. 102.
4. J. R. Porter, R. G. Woods: Extensions and Absoluteness of Hausdorff Spaces. Springer-Verlag, 1988, ISBN 1-4612-8316-7, Kapitel 4.8, S. 305.
5. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, S. 13 und S. 16.