Urnenmodell

Gleichfarbige Kugeln sind äußerlich nicht unterscheidbar und werden daher verschieden beschriftet

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Ergebnisse, etwa dass eine bestimmte Kugel gezogen wird, durch Mengen dargestellt. Im Urnenmodell geht man zunächst von unterschiedlichen Kugeln aus. Falls einige Kugeln in der Urne die gleiche Ausprägung der Eigenschaften haben, z. B. die gleiche Farbe haben, erweist es sich als vorteilhaft, die Kugeln durch eine Nummerierung voneinander zu unterscheiden. Befinden sich in der Urne insgesamt ${\displaystyle N}$ Kugeln, dann definiert man als Ergebnismenge für das Ziehen einer Kugel

${\displaystyle \Omega =\{B_{1},B_{2},\dotsc ,B_{N}\}}$,

wobei die Elemente der Ergebnismenge ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dotsc ,B_{N}}$ die einzelnen Kugeln identifizieren. Befinden sich beispielsweise drei rote, eine grüne und zwei blaue Kugeln in der Urne, so lässt sich die Ergebnismenge durch

${\displaystyle \Omega =\{{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1},{\text{blau}}_{2}\}}$

beschreiben. Die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge wird durch die Mächtigkeit der Ergebnismenge ${\displaystyle |\Omega |}$ beschrieben. Die Mächtigkeit der Ergebnismenge ist identisch mit der Anzahl der Möglichkeiten, ${\displaystyle n}$ Kugeln aus einer Urne mit ${\displaystyle N}$ Kugeln zu ziehen.

Jedem Ergebnis ${\displaystyle B_{i}}$, ${\displaystyle i=1,\dotsc ,N}$, wird nun eine Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(\{B_{i}\})}$ zugeordnet. Nachdem jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, handelt es sich hierbei um ein Laplace-Experiment, bei dem für die Wahrscheinlichkeit jedes Elements der Ergebnismenge

${\displaystyle P(\{B_{i}\})={\frac {1}{|\Omega |}}={\frac {1}{N}}}$

gilt. In obigem Beispiel mit sechs Kugeln erhält man also für jede Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(\{{\text{rot}}_{1}\})=P(\{{\text{rot}}_{2}\})=\dotsb =P(\{{\text{blau}}_{2}\})={\frac {1}{6}}}$.

Bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen wird eine Kugel nach der Notierung ihrer Farbe wieder zurück in die Urne gelegt

Beim Ziehen mehrerer Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge werden die Ergebnisse durch Tupel dargestellt, wobei die Länge des Tupels der Anzahl der Ziehungen entspricht. Werden von den ${\displaystyle N}$ Kugeln in der Urne ${\displaystyle n}$ Kugeln mit Zurücklegen gezogen, dann hat die Ergebnismenge die Form

${\displaystyle \Omega =\{(B_{i_{1}},\dotsc ,B_{i_{n}})\mid i_{1},\dotsc ,i_{n}\in \{1,\dotsc ,N\}\}}$.

Die Ergebnismenge ist damit das ${\displaystyle n}$-fache kartesische Produkt der Ergebnismenge einer einfachen Ziehung. Man spricht hier auch von einer Variation mit Wiederholung. Nachdem es für jedes der ${\displaystyle n}$ Tupelelemente ${\displaystyle N}$ Möglichkeiten gibt, erhält man für die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge

${\displaystyle |\Omega |=N^{n}}$.

Werden aus der Beispielurne mit sechs Kugeln drei Kugeln mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen, dann hat jede zulässige Kugelkombination die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{1})\})=\dotsb =P(\{({\text{blau}}_{2},{\text{blau}}_{2},{\text{blau}}_{2})\})={\frac {1}{6^{3}}}={\frac {1}{216}}}$.

Diese Wahrscheinlichkeit ist gerade das dreifache Produkt ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\cdot {\tfrac {1}{6}}\cdot {\tfrac {1}{6}}}$ der Wahrscheinlichkeiten beim einmaligen Ziehen.

Bei einem Urnenmodell ohne Zurücklegen wird eine einmal gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt

Auch beim Ziehen ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge werden die Ergebnisse durch Tupel dargestellt, wobei die Länge des Tupels der Anzahl der Ziehungen entspricht. Werden von den ${\displaystyle N}$ Kugeln in der Urne ${\displaystyle n\leq N}$ Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, dann hat die Ergebnismenge die Form

${\displaystyle \Omega =\{(B_{i_{1}},\dotsc ,B_{i_{n}})\mid i_{1},\dotsc ,i_{n}\in \{1,\dotsc ,N\}~{\text{mit}}~i_{l}\neq i_{m}~{\text{für}}~l\neq m\}}$.

Die Ergebnismenge besteht damit aus allen ${\displaystyle n}$-Tupeln, bei denen kein Element des Tupels mehr als einmal vorkommt. Man spricht hier auch von einer Variation ohne Wiederholung. Nachdem es für das erste Tupelelement ${\displaystyle N}$ Möglichkeiten gibt, für das zweite ${\displaystyle N-1}$ Möglichkeiten und so weiter, erhält man für die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge

${\displaystyle |\Omega |=N(N-1)\dotsm (N-n+1)={\frac {N!}{(N-n)!}}=n!{\binom {N}{n}}=N^{\underline {n}}}$.

Der Ausdruck ${\displaystyle N^{\underline {n}}}$ wird fallende Faktorielle ab ${\displaystyle N}$ mit ${\displaystyle n}$ Faktoren genannt. Werden aus der Beispielurne mit sechs Kugeln drei Kugeln ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen, dann hat jede zulässige Kugelkombination die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3})\})=\dotsb =P(\{({\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1},{\text{blau}}_{2})\})={\frac {1}{6\cdot 5\cdot 4}}={\frac {1}{120}}}$.

Diese Wahrscheinlichkeit ist gerade das Produkt ${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}\cdot {\tfrac {1}{5}}\cdot {\tfrac {1}{4}}}$ der Wahrscheinlichkeiten beim jeweils einmaligen Ziehen aus einer Urne mit sechs, fünf und vier Kugeln.

Eine adäquate mathematische Beschreibung dieses Falls ist durch eine Multimenge gegeben, die zum einen als Menge – im Gegensatz zu einem Tupel – Elemente in nicht angeordneter Weise zu beschreiben erlaubt, was für das Außer-Acht-Lassen der Reihenfolge der gezogenen Kugeln benötigt wird, und zum anderen ein mehrfaches Auftreten eines Elements innerhalb einer Menge erlaubt (Vielfachheit bzw. Multiplizität eines Elements), was für die Möglichkeit eines mehrfachen Ziehens einer Kugel notwendig ist, da eine gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird und erneut gezogen werden kann. Als Schreibweise für eine Multimenge wird hier ${\displaystyle \{|\;\;\;|\}}$ gewählt und die Vielfachheit eines Elements steht in runden Klammern als hochgestellte Zahl am Element. Da eine Kugel maximal ${\displaystyle n}$ mal gezogen werden kann, ergibt sich die (Multi-)Menge ${\displaystyle M}$ zu

${\displaystyle M=\{\!\vert B_{1}^{(n)},\dots ,B_{N}^{(n)}\;\!\vert \}}$.

Beim Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge werden die Ergebnisse durch Teil(multi)mengen dargestellt:

${\displaystyle S=\{\!\vert B_{1}^{(m_{1})},\dots ,B_{N}^{(m_{N})}\mid \sum _{i=1}^{N}m_{i}=n\;\!\vert \}}$.

Für die Vielfachheit einer Kugel gilt ${\displaystyle m_{i}\in \{0,\dots ,n\}}$, für ${\displaystyle i=1,\dots ,N}$, da die Anzahl möglicher Ziehungen einer Kugel zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle n}$ liegt. Befinden sich in einer Urne ${\displaystyle N}$ Kugeln und werden ${\displaystyle n}$ Kugeln mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, ergibt sich als Ergebnismenge

${\displaystyle \Omega =\{\!\vert S\subset M\mid |S|=n\;\!\vert \}}$.

Man spricht hier auch von einer Kombination mit Wiederholung. Die Anzahl der Möglichkeiten, ${\displaystyle n}$ Ziehungen unter ${\displaystyle N}$ Kugeln mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge durchzuführen, ergibt sich aus der Anzahl der Möglichkeiten, die Gleichung ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}=n}$ zu erfüllen, wobei ${\displaystyle m_{i}\in \{0,\dots ,n\}}$ mit ${\displaystyle i=1,\dots ,N}$ gilt. Damit ergibt sich die Anzahl der Möglichkeiten, ${\displaystyle n}$ Ziehungen unter ${\displaystyle N}$ Kugeln mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge durchzuführen aus

${\displaystyle |\Omega |={\binom {n+N-1}{n}}={\binom {n+N-1}{N-1}}}$.

Möchte man ein gegebenes Ergebnis zurück verwandeln in eine echte Ziehung, d. h. in die Anzahl der Ziehungen, die einer beliebigen Kugel angehören, muss man zunächst die Teilmenge in ein Diagramm verwandeln. Dieses Diagramm besteht aus den Zahlen ${\displaystyle 1,\dots ,n,n+1}$ und ${\displaystyle N-1}$ Strichen. Dabei wird die Teilmenge zunächst sortiert in ${\displaystyle \{k_{1},\dots ,k_{N-1}\}}$. Dann wird vor der Zahl ${\displaystyle k_{i}-i+1}$ ein Strich eingefügt. Die Anzahl der Zahlen zwischen den Strichen sowie vor dem ersten und hinter dem letzten Strich sind die Anzahl der Ziehungen pro Kugel. Dabei wird ${\displaystyle n+1}$ nicht berücksichtigt. Hat man zum Beispiel für ${\displaystyle n=5}$ und ${\displaystyle N=3}$ die Teilmenge ${\displaystyle \{2,4\}}$ gegeben, so ist das Diagramm 1|2|3 4 5. Vor dem ersten Strich steht die 1, zwischen dem ersten und dem zweiten Strich steht die 2 und hinter dem zweiten Strich stehen 3, 4 und 5. Also wurde einmal die erste Kugel gezogen, einmal die zweite Kugel und dreimal die dritte Kugel.

Werden aus der Beispielurne mit sechs Kugeln drei Kugeln mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, dann hat jede zulässige Kugelkombination die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(\{\!\vert {{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{1}}\!\vert \})=\dotsb =P(\{\!\vert {{\text{blau}}_{2},{\text{blau}}_{2},{\text{blau}}_{2}}\!\vert \})={\frac {1}{\binom {8}{3}}}={\frac {1}{56}}}$.

Hier sind mehrfach auftretenden Elemente der Multimenge auch mehrfach notiert und durch Kommas abgetrennt.

Beim Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge werden die Ergebnisse ebenfalls durch Teilmengen dargestellt. Konkret heißt dies: Ist wie oben

${\displaystyle M=\{B_{1},\dots ,B_{N}\}}$

die Menge der Kugeln, dann ist

${\displaystyle \Omega =\{S\subseteq M\mid |S|=n\}}$

die Ergebnismenge für ${\displaystyle n}$ Ziehungen. Man spricht hier auch von einer Kombination ohne Wiederholung. Damit ergibt sich die Anzahl der Möglichkeiten, ${\displaystyle n}$ Ziehungen durchzuführen unter ${\displaystyle N}$ Kugeln ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge zu

${\displaystyle |\Omega |={\binom {N}{n}}}$.

Werden aus der Beispielurne mit sechs Kugeln drei Kugeln ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, dann hat jede zulässige Kugelkombination die Wahrscheinlichkeit

${\displaystyle P(\{{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3}\})=\dotsb =P(\{{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1},{\text{blau}}_{2}\})={\frac {1}{\binom {6}{3}}}={\frac {1}{20}}}$.

Wahrscheinlichkeit der Ziehung einer roten oder grünen Kugel

Ereignisse, etwa dass Kugeln bestimmter Farben gezogen werden, werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie ebenfalls durch Mengen dargestellt. Ein Ereignis ${\displaystyle A}$ ist hier einfach eine Teilmenge der Ergebnismenge, also ${\displaystyle A\subseteq \Omega }$. Beispielsweise wird das Ereignis, dass beim einmaligen Ziehen aus der Beispielurne eine rote oder grüne Kugel gezogen wird, durch

${\displaystyle A=\{{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}}\}\subseteq \{{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1},{\text{blau}}_{2}\}}$

beschrieben. Nach der Laplace-Formel gilt nun für die Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle P(A)}$, dass ein Ereignis ${\displaystyle A}$ eintritt:

${\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}}$.

Somit lässt sich die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses auf das Aufzählen von Ergebnissen zurückführen. Beispielsweise ergibt sich als Wahrscheinlichkeit, dass beim einmaligen Ziehen aus der Beispielurne eine rote oder grüne Kugel gezogen wird

${\displaystyle P(\{{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}}\})={\frac {|\{{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}}\}|}{|\{{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1},{\text{blau}}_{2}\}|}}={\frac {4}{6}}={\frac {2}{3}}}$.

Bei mehreren Ziehungen kann allerdings das einzelne Aufzählen von Ergebnissen, etwa mit Hilfe von Baumdiagrammen, sehr aufwändig werden. Stattdessen werden hierfür häufig Hilfsmittel aus der abzählenden Kombinatorik genutzt.

Wahrscheinlichkeiten bei der Ziehung dreier roter Kugeln mit (obere Reihe) und ohne (untere Reihe) Zurücklegen

Zunächst betrachtet man das Ereignis, dass bei ${\displaystyle n}$ Ziehungen immer eine Kugel der gleichen Farbe gezogen wird. Ist ${\displaystyle M\leq N}$ die Anzahl der Kugeln dieser Farbe, dann gilt bei einer Ziehung mit Zurücklegen für die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses

${\displaystyle P(A)={\frac {M^{n}}{N^{n}}}=\left({\frac {M}{N}}\right)^{n}=p^{n}}$   mit   ${\displaystyle p={\frac {M}{N}}}$.

Die Wahrscheinlichkeit ist also die ${\displaystyle n}$-te Potenz der Wahrscheinlichkeit der einmaligen Ziehung einer Kugel dieser Farbe. Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen erhält man stattdessen

${\displaystyle P(A)={\frac {M^{\underline {n}}}{N^{\underline {n}}}}={\frac {M}{N}}\cdot {\frac {M-1}{N-1}}\dotsm {\frac {M-n+1}{N-n+1}}}$.

Für ${\displaystyle n>M}$ wird diese Wahrscheinlichkeit null, da nicht mehr Kugeln einer Farbe gezogen werden können, als in der Urne vorhanden sind. Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne drei rote Kugeln gezogen werden, bei einer Ziehung mit Zurücklegen

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{1}),\ldots ,({\text{rot}}_{3},{\text{rot}}_{3},{\text{rot}}_{3})\})={\frac {3}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}\cdot {\frac {3}{6}}={\frac {27}{216}}={\frac {1}{8}}}$

und bei einer Ziehung ohne Zurücklegen

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{3}),\ldots ,({\text{rot}}_{3},{\text{rot}}_{2},{\text{rot}}_{1})\})={\frac {3}{6}}\cdot {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {1}{4}}={\frac {6}{120}}={\frac {1}{20}}}$.

Wahrscheinlichkeiten bei der Ziehung einer roten, einer grünen und einer blauen Kugel in dieser Reihenfolge mit (obere Reihe) und ohne (untere Reihe) Zurücklegen

Werden verschiedenfarbige Kugeln gezogen, so ist bei der Betrachtung der Ereignisse zu unterscheiden, ob die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen wurden, eine Rolle spielen soll oder nicht. Im ersten Fall spricht man auch von einer geordneten Ziehung, im anderen von einer ungeordneten Ziehung.

Im Folgenden wird der Fall betrachtet, dass pro Farbe genau eine Kugel gezogen wird. Befinden sich in der Urne ${\displaystyle N_{1}}$ Kugeln der ersten Farbe, ${\displaystyle N_{2}}$ Kugeln der zweiten Farbe und so fort, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass als erstes eine Kugel der ersten Farbe, als zweites eine Kugel der zweiten Farbe und so weiter bis als letztes eine Kugel der ${\displaystyle n}$-ten Farbe gezogen wird, bei einer Ziehung mit Zurücklegen

${\displaystyle P(A)={\frac {N_{1}\cdot N_{2}\dotsm N_{n}}{N^{n}}}=p_{1}\cdot p_{2}\dotsm p_{n}}$   mit   ${\displaystyle p_{j}={\frac {N_{j}}{N}}}$

und bei einer Ziehung ohne Zurücklegen

${\displaystyle P(A)={\frac {N_{1}\cdot N_{2}\dotsm N_{n}}{N^{\underline {n}}}}={\frac {N_{1}}{N}}\cdot {\frac {N_{2}}{N-1}}\dotsm {\frac {N_{n}}{N-n+1}}}$.

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne eine rote, eine grüne und eine blaue Kugel in dieser Reihenfolge gezogen werden, bei einer Ziehung mit Zurücklegen

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1}),\ldots ,({\text{rot}}_{3},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{2})\})={\frac {3}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2}{6}}={\frac {6}{216}}={\frac {1}{36}}}$

und bei einer Ziehung ohne Zurücklegen

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1}),\dotsc ,({\text{rot}}_{3},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{2})\})={\frac {3}{6}}\cdot {\frac {1}{5}}\cdot {\frac {2}{4}}={\frac {6}{120}}={\frac {1}{20}}}$.

Genau die gleichen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich, wenn eine beliebige andere Reihenfolge der Kugeln (etwa grün, blau, rot) gewählt wird.

Spielt die Reihenfolge der gezogenen Kugeln keine Rolle, müssen alle Permutationen der Kugeln berücksichtigt werden

Soll nun die genaue Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, außer Acht gelassen werden, müssen zusätzlich alle ${\displaystyle n!}$ Permutationen der gezogenen Kugeln berücksichtigt werden. Dadurch ergibt sich als Wahrscheinlichkeit, dass je eine Kugel unterschiedlicher Farbe gezogen wird, bei einer Ziehung mit Zurücklegen

${\displaystyle P(A)={\frac {n!\cdot N_{1}\cdot N_{2}\dotsm N_{n}}{N^{n}}}=n!\cdot p_{1}\cdot p_{2}\dotsm p_{n}}$   mit   ${\displaystyle p_{j}={\frac {N_{j}}{N}}}$

und bei einer Ziehung ohne Zurücklegen

${\displaystyle P(A)={\frac {n!\cdot N_{1}\cdot N_{2}\dotsm N_{n}}{N^{\underline {n}}}}=n!\cdot {\frac {N_{1}}{N}}\cdot {\frac {N_{2}}{N-1}}\dotsm {\frac {N_{n}}{N-n+1}}}$.

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne drei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden, bei einer Ziehung mit Zurücklegen

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1}),\dotsc ,({\text{blau}}_{2},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{rot}}_{3})\})=3!\cdot {\frac {3}{6}}\cdot {\frac {1}{6}}\cdot {\frac {2}{6}}={\frac {36}{216}}={\frac {1}{6}}}$

und bei einer Ziehung ohne Zurücklegen

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{1}),\dotsc ,({\text{blau}}_{2},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{rot}}_{3})\})=3!\cdot {\frac {3}{6}}\cdot {\frac {1}{5}}\cdot {\frac {2}{4}}={\frac {36}{120}}={\frac {3}{10}}}$.

Im allgemeineren Fall, dass mehrere Kugeln jeder Farbe gezogen werden, müssen Permutationen mit Wiederholung betrachtet werden. Die Anzahl solcher Permutationen wird durch Multinomialkoeffizienten angegeben, siehe den Abschnitt Anzahl der Kugeln einer Farbkombination.

Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ist auch eine Uminterpretation der Wahrscheinlichkeit in einem reduzierten Wahrscheinlichkeitsraum mit ${\displaystyle |\Omega |={\tfrac {N^{\underline {n}}}{n!}}={\tbinom {N}{n}}}$ Elementen möglich. In diesem Wahrscheinlichkeitsraum werden Ergebnisse als äquivalent angesehen, wenn sie durch Permutation der Kugeln auseinander hervorgehen. Man spricht hier auch von einer Kombination ohne Wiederholung. Auch in dem reduzierten Wahrscheinlichkeitsraum sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich.

Eine solche Uminterpretation ist ebenso bei einer Ziehung mit Zurücklegen möglich und man erhält dann einen reduzierten Wahrscheinlichkeitsraum mit ${\displaystyle |\Omega |={\tbinom {N+n-1}{n}}}$ Elementen. Entsprechend spricht man hier von einer Kombination mit Wiederholung. Allerdings ist dieser Wahrscheinlichkeitsraum kein Laplace-Raum mehr, denn die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedene Kugeln gezogen werden, ist hier doppelt so hoch wie diejenige für zwei gleiche Kugeln.

Komplexere Ereignisse können häufig in einfachere, sich wechselseitig ausschließende Ereignisse zerlegt werden. Ist eine Ereignismenge die Vereinigung paarweise disjunkter Ereignisse ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dotsc ,A_{k}}$, dann ist die Wahrscheinlichkeit des Gesamtereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse:

${\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dotsb \cup A_{k})=P(A_{1})+P(A_{2})+\dotsb +P(A_{k})}$.

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne zweimal eine Kugel der gleichen Farbe gezogen wird, bei einer Ziehung ohne Zurücklegen

${\displaystyle P(\{({\text{rot}}_{1},{\text{rot}}_{2}),\ldots ,({\text{rot}}_{3},{\text{rot}}_{2}),\emptyset ,({\text{blau}}_{1},{\text{blau}}_{2}),({\text{blau}}_{2},{\text{blau}}_{1})\})={\frac {6}{30}}+{\frac {0}{30}}+{\frac {2}{30}}={\frac {8}{30}}={\frac {4}{15}}}$.

Gelegentlich ist es auch effizienter, die nicht eingetretenen Ergebnisse aufzuzählen, wobei man die Formel für die Gegenwahrscheinlichkeit nutzt:

${\displaystyle P(A)=1-P(\Omega \setminus A)}$

Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass aus der Beispielurne bei zweimal Ziehen ohne Zurücklegen keine grüne Kugel gezogen wird

${\displaystyle 1-P(\{({\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{rot}}_{1}),\dotsc ,({\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}},{\text{blau}}_{2}),({\text{rot}}_{1},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}}),\dotsc ,({\text{blau}}_{2},{\text{gr}}\mathrm {\ddot {u}} {\text{n}})\})=1-{\frac {10}{30}}={\frac {2}{3}}}$.

Die Binomialverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit nach n Ziehungen genau k Kugeln einer bestimmten Farbe gezogen wurden

In der Urne befinden sich ${\displaystyle M}$ Kugeln einer Farbe und ${\displaystyle N-M}$ Kugeln anderer Farben. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach ${\displaystyle n}$ Ziehungen genau ${\displaystyle k}$ Kugeln der ersten Farbe gezogen wurden, ist bei einer Ziehung mit Zurücklegen

${\displaystyle P(X=k)={\frac {{\binom {n}{k}}M^{k}(N-M)^{n-k}}{N^{n}}}={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$   mit   ${\displaystyle p={\frac {M}{N}}}$.

Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Binomialverteilung, bei einer einmaligen Ziehung auch Bernoulli-Verteilung. Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ergibt sich analog

${\displaystyle P(X=k)={\frac {{\binom {n}{k}}M^{\underline {k}}(N-M)^{\underline {n-k}}}{N^{\underline {n}}}}={\frac {{\binom {M}{k}}{\binom {N-M}{n-k}}}{\binom {N}{n}}}={\frac {{\binom {n}{k}}{\binom {N-n}{M-k}}}{\binom {N}{M}}}}$

und die entsprechende Verteilung wird hypergeometrische Verteilung genannt.

Die negative Binomialverteilung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit nach n Ziehungen eine Kugel einer bestimmten Farbe das k-te Mal gezogen wurde

In der Urne befinden sich wieder ${\displaystyle M}$ Kugeln einer Farbe und ${\displaystyle N-M}$ Kugeln anderer Farben. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach ${\displaystyle n}$ Ziehungen im letzten Zug eine Kugel der ersten Farbe das ${\displaystyle k}$-te Mal gezogen wurde, ist bei einer Ziehung mit Zurücklegen

${\displaystyle P(X=n)={\frac {{\binom {n-1}{k-1}}M^{k}(N-M)^{n-k}}{N^{n}}}={\binom {n-1}{k-1}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$   mit   ${\displaystyle p={\frac {M}{N}}}$.

Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt negative Binomialverteilung und im Spezialfall ${\displaystyle k=1}$ geometrische Verteilung. Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ergibt sich analog

${\displaystyle P(X=n)={\frac {{\binom {n-1}{k-1}}M^{\underline {k}}(N-M)^{\underline {n-k}}}{N^{\underline {n}}}}={\frac {k{\binom {M}{k}}{\binom {N-M}{n-k}}}{n{\binom {N}{n}}}}={\frac {{\binom {n-1}{k-1}}{\binom {N-n}{M-k}}}{\binom {N}{M}}}}$

und die entsprechende Verteilung wird negative hypergeometrische Verteilung genannt.

In der Urne befinden sich nun ${\displaystyle N_{j}}$ Kugeln der Farbe ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle N_{1}+\dotsb +N_{s}=N}$. Die Wahrscheinlichkeit, dass nach ${\displaystyle n}$ Ziehungen genau ${\displaystyle k_{j}}$ Kugeln der Farbe ${\displaystyle j}$ für ${\displaystyle j=1,\dotsc ,s}$ gezogen wurden, ist bei einer Ziehung mit Zurücklegen:

${\displaystyle P(X_{1}=k_{1},\dotsc ,X_{s}=k_{s})={\frac {{\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{s}}}N_{1}^{k_{1}}\dotsm N_{s}^{k_{s}}}{N^{n}}}={\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{s}}}p_{1}^{k_{1}}\dotsm p_{s}^{k_{s}}}$   mit   ${\displaystyle p_{j}={\frac {N_{j}}{N}}}$.

Die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Multinomialverteilung. Bei einer Ziehung ohne Zurücklegen ergibt sich analog

${\displaystyle P(X_{1}=k_{1},\dotsc ,X_{s}=k_{s})={\frac {{\binom {n}{k_{1},\dotsc ,k_{s}}}N_{1}^{\underline {k_{1}}}\dotsm N_{s}^{\underline {k_{s}}}}{N^{\underline {n}}}}={\frac {{\binom {N_{1}}{k_{1}}}{\binom {N_{2}}{k_{2}}}\dotsm {\binom {N_{s}}{k_{s}}}}{\binom {N}{n}}}}$

und die entsprechende Verteilung wird multivariate hypergeometrische Verteilung genannt.

Urnenmodelle finden in der statistischen Physik Anwendung. Die Kugeln sind hier z. B. Gasmoleküle, Protonen, Elektronen usw. und der Phasenraum wird in Zellen (Fächer/Urnen) unterteilt. Abhängig davon, welche Annahme über die Gleichverteilung gemacht wird, erhält man verschiedene, aus der Erfahrung heraus begründbare Verteilungen, die „Statistiken“ genannt werden. Bei der Maxwell-Boltzmann-Statistik, die in der kinetischen Gastheorie eine große Rolle spielt, tritt etwa ein Modell auf, in dem die Teilchen (Kugeln) unterscheidbar sind und Mehrfachbesetzungen (im in Zellen unterteilten Phasenraum) erlaubt. Das Urnenmodell, bei dem die Teilchen nicht unterscheidbar und Mehrfachbesetzungen erlaubt sind, führt zur Bose-Einstein-Statistik[6] und wird u. a. für Photonen verwendet. Das Urnenmodell, bei dem die Teilchen nicht unterscheidbar sind und es keine Mehrfachbesetzungen gibt, führt zur Fermi-Dirac-Statistik[7] und wird u. a. für Elektronen, Neutronen und Protonen verwendet. Die Bedingung, dass höchstens ein Teilchen in einer Zelle liegt, ist analog zum Pauli-Verbot zu verstehen.[8]