Untermodul

• Jeder Modul ${\displaystyle M}$ besitzt den trivialen Untermodul ${\displaystyle \{0\}}$ und den Untermodul ${\displaystyle M}$.
• Ist ${\displaystyle M}$ ein Rechtsmodul und ${\displaystyle m\in M}$, so ist ${\displaystyle m\cdot R:=\{m\cdot r\mid r\in R\}}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$. Es ist der von ${\displaystyle m}$ erzeugte zyklische Untermodul.
• Ist ${\displaystyle I}$ ein Rechtsideal des Ringes ${\displaystyle R}$, so ist ${\displaystyle I}$ ein ${\displaystyle R}$-Untermodul von ${\displaystyle R}$ als Rechtsmodul.
• Sind ${\displaystyle U,V}$ Untermoduln von ${\displaystyle M}$, so ist ${\displaystyle U+V:=\{u+v\mid u\in U,v\in V\}}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$. Es ist der kleinste Untermodul von ${\displaystyle M}$, der ${\displaystyle U}$ und ${\displaystyle V}$ enthält.
• Ist ${\displaystyle (U_{i}\mid i\in I)}$ eine Familie von Untermoduln, so ist ${\displaystyle \bigcap U_{i}}$ ein Untermodul. Es ist der größte Untermodul, der in allen ${\displaystyle U_{i}}$ enthalten ist.
• Die Vereinigung von Untermoduln ist im Allgemeinen kein Untermodul. So sind ${\displaystyle 2\mathbb {Z} ,3\mathbb {Z} }$ Untermoduln von ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, aber ${\displaystyle 5=2+3\notin 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$.

Sei ${\displaystyle (U_{i}\mid i\in I)}$ eine Familie von Untermoduln des Rechtsmoduls ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle \textstyle V=\sum _{i\in I}U_{i}}$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

• Für alle ${\displaystyle i\in I}$ ist: ${\displaystyle \textstyle U_{i}\cap \sum _{j\neq i}U_{j}=\{0\}}$.
• Für alle endlichen Teilmengen ${\displaystyle I_{e}\subset I}$ gilt: Ist ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in I_{e}}u_{i}=\sum _{i\in I_{e}}u'_{i}}$, wobei ${\displaystyle u_{i}\in U_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I_{e}}$, so gilt ${\displaystyle \textstyle u_{i}=u'_{i}}$ für alle ${\displaystyle i\in I_{e}}$. Jedes ${\displaystyle v\in V}$ lässt sich daher auf genau eine Weise als Summe von Elementen aus den ${\displaystyle \textstyle U_{i}}$ darstellen.

Trifft eine dieser Aussagen zu, so heißt ${\displaystyle V}$ die innere direkte Summe der ${\displaystyle U_{i}}$. Diese direkte Summe wird mit

${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i\in I}U_{i}}$

bezeichnet. Der Untermodul ${\displaystyle 0\neq U_{R}}$ von ${\displaystyle M}$ heißt direkter Summand von ${\displaystyle M}$, wenn es einen Untermodul ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle M}$ gibt mit ${\displaystyle U\oplus V=M}$. Der Modul ${\displaystyle M}$ heißt direkt unzerlegbar oder einfach unzerlegbar, wenn er keinen direkten Summanden ungleich ${\displaystyle \{0\}}$ hat.

1. Ist ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper oder Schiefkörper und ${\displaystyle \{x_{i}\mid i\in I\}}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$ und ist ${\displaystyle V_{i}}$ für jedes ${\displaystyle i\in I}$ der von ${\displaystyle x_{i}}$ erzeugte Untervektorraum, so ist ${\displaystyle \textstyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$.
2. Jeder einfache Modul ist direkt unzerlegbar.
3. Ist ${\displaystyle R}$ ein Integritätsring und ${\displaystyle K_{R}}$ sein Quotientenkörper, so ist ${\displaystyle K_{R}}$ als Modul über ${\displaystyle R}$ unzerlegbar.
4. ${\displaystyle 2\mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} }$ ist kein direkter Summand, da es keinen injektiven Morphismus ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ gibt

Ein Untermodul ${\displaystyle U\subset M}$ heißt maximal, wenn ${\displaystyle U}$ in keinem echten Untermodul von M echt enthalten ist.

${\displaystyle U\subset M}$ ist genau dann ein maximaler Untermodul, wenn der Faktormodul ${\displaystyle M/U}$ einfach ist. Jeder echte Untermodul eines endlich erzeugten Moduls ist in einem maximalen Untermodul.[2] Das heißt, insbesondere hat jeder Ring maximale Ideale. Es gibt aber auch Moduln, die keine maximalen Untermoduln enthalten. So hat ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ keine maximalen Untermoduln.

Für einen Untermodul ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle M}$ sind äquivalent:

• Für alle Untermoduln ${\displaystyle V\subset M}$ mit ${\displaystyle U\cap V=\{0\}}$ ist ${\displaystyle V=\{0\}}$.
• Zu jedem ${\displaystyle 0\neq x\in M}$ gibt es ein ${\displaystyle r\in R}$ mit ${\displaystyle 0\neq x\cdot r\in U}$.

Erfüllt ein Untermodul ${\displaystyle U\subset M}$ eine der äquivalenten Eigenschaften, dann heißt ${\displaystyle U}$ groß in ${\displaystyle M}$. Manchmal wird dies mit ${\displaystyle U\trianglelefteq M}$ abgekürzt.[3]

• In ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Modul ist jeder Untermodul ${\displaystyle \neq \{0\}}$ groß.
• Das letzte Beispiel kann verallgemeinert werden. Ist ${\displaystyle F}$ eine torsionsfreie abelsche Gruppe, so ist eine Untergruppe ${\displaystyle U\subset F}$ genau dann groß, wenn die Faktorgruppe ${\displaystyle F/U}$ ein Torsionsmodul ist.
• Ist ${\displaystyle p}$ eine Primzahl und ${\displaystyle n}$ eine natürliche Zahl größer 1, so ist in ${\displaystyle \mathbb {Z} /(p^{n}\mathbb {Z} )}$ jeder Untermodul groß.
• In einem halbeinfachen Modul ${\displaystyle M}$ ist nur der Modul selber groß in sich.

• Ist ${\displaystyle U}$ groß in ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle V}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle U\subset V\subset M}$, so ist ${\displaystyle V}$ groß in ${\displaystyle M}$.
• Ist ${\displaystyle U}$ groß in ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle V}$ groß in ${\displaystyle W}$, so ist ${\displaystyle U}$ groß in ${\displaystyle W}$.
• Ist ${\displaystyle (V_{i})_{i\in I}}$ eine nach oben filtrierende Familie von Untermoduln von ${\displaystyle M}$ und ist ${\displaystyle U}$ groß in jedem ${\displaystyle V_{i}}$, so ist ${\displaystyle U}$ groß in ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i}V_{i}}$.
• Sind ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I},(A_{i})_{i\in I}}$ zwei Familien von Untermoduln von ${\displaystyle M}$ und ist die Summe der ${\displaystyle A_{i}}$ direkt, so gilt: Sind alle ${\displaystyle U_{i}}$ groß in ${\displaystyle A_{i}}$, so ist ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i}U_{i}}$ groß in ${\displaystyle \textstyle \bigoplus _{i}A_{i}}$.
• Ein Untermodul ${\displaystyle U\subset M}$ heißt abgeschlossen , wenn er in keinem echten Obermodul groß ist. Zu jedem Untermodul ${\displaystyle U\subset M}$ gibt es einen abgeschlossenen Untermodul ${\displaystyle {\overline {U}}}$, so dass ${\displaystyle U}$ groß in ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ist.
• Sind ${\displaystyle A,U}$ zwei Untermoduln von ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle A\cap U=\{0\}}$, so gibt es einen Obermodul ${\displaystyle H}$ von ${\displaystyle U}$, welcher maximal bezüglich der Eigenschaft ${\displaystyle A\cap H=\{0\}}$ ist. Es ist ${\displaystyle A\oplus H}$ groß in ${\displaystyle M}$. Es ist ${\displaystyle H}$ ein Durchschnittskomplement von ${\displaystyle A}$. Ein Durchschnittskomplement ist keineswegs eindeutig bestimmt.
• Ist ${\displaystyle A}$ ein Untermodul von ${\displaystyle M}$, so gibt es zu ${\displaystyle A}$ ein Durchschnittskomplement ${\displaystyle A'}$ von ${\displaystyle A}$. Zu ${\displaystyle A'}$ gibt es ein Durchschnittskomplement ${\displaystyle A''}$ von ${\displaystyle A'}$, so dass ${\displaystyle A}$ ein Untermodul von ${\displaystyle A''}$ ist. Es ist ${\displaystyle A}$ groß in ${\displaystyle A''}$ und ${\displaystyle A''}$ abgeschlossen in ${\displaystyle M}$.

Ist ${\displaystyle M}$ ein Modul, so ist der Durchschnitt aller großen Untermoduln gleich der Summe aller einfachen Untermoduln. Dieser Untermodul heißt Sockel von ${\displaystyle M}$. Er ist der größte halbeinfache Untermodul von ${\displaystyle M}$. Er wird mit ${\displaystyle \operatorname {So} (M)}$ bezeichnet. Ist

${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$

ein Homomorphismus zwischen Moduln ${\displaystyle M,N}$, so ist ${\displaystyle f(\operatorname {So} (M))}$ ein Untermodul von ${\displaystyle \operatorname {So} (N)}$. Insbesondere heißt dies, dass der Sockel ein ${\displaystyle S}$-Untermodul von ${\displaystyle M}$ ist, wenn ${\displaystyle S}$ der Endmorphismenring von ${\displaystyle M}$ ist. Der Sockel des Ringes ${\displaystyle R}$ als ${\displaystyle R}$-Rechtsmodul ist ein zweiseitiges Ideal. Außerdem ist

${\displaystyle \operatorname {So} (\operatorname {So} (M))=\operatorname {So} (M)}$

Der Sockel ist ein Präradikal. Er ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ eine Familie von Untermoduln, deren Summe direkt ist, so ist

${\displaystyle \textstyle \operatorname {So} \left(\bigoplus _{i}A_{i}\right)=\bigoplus _{i}(\operatorname {So} (A_{i}))}$.

Ein Untermodul ${\displaystyle A\subset M}$ heißt klein in ${\displaystyle M}$, wenn für alle Untermoduln ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle M}$ gilt: Ist ${\displaystyle A+U=M}$, so ist ${\displaystyle U=M}$.

• ${\displaystyle \{0\}}$ ist in jedem Obermodul klein.
• In einer freien abelschen Gruppe ist nur der Modul ${\displaystyle \{0\}}$ klein.
• In ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\mathbb {Z} }}$ ist jede endlich erzeugte Untergruppe klein als ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-Untermodul.

• Die endliche Summe kleiner Untermoduln ist klein.
• Ist ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ ein Homomorphismus und ist ${\displaystyle A}$ klein in ${\displaystyle M}$, so ist ${\displaystyle f(A)}$ klein in ${\displaystyle N}$.
• Ein zyklischer Untermodul ${\displaystyle aR\subset M}$ ist genau dann nicht klein in ${\displaystyle M}$, wenn es einen maximalen Untermodul ${\displaystyle U\subset M}$ gibt, mit ${\displaystyle a\notin U}$.

Die Summe aller kleinen Untermoduln von ${\displaystyle M}$ ist gleich dem Durchschnitt aller maximalen Untermoduln von ${\displaystyle M}$. Dieser Untermodul heißt Radikal von ${\displaystyle M}$. Er wird mit ${\displaystyle \operatorname {Rad} (M)}$ bezeichnet.

• Ist ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$ ein Homomorphismus, so ist ${\displaystyle f(\operatorname {Rad} (M))}$ ein Untermodul von ${\displaystyle \operatorname {Rad} (N)}$ (Siehe auch Jacobson-Radikal). Das Radikal ist ein Unterfunktor der Identität. Insbesondere ist ${\displaystyle \operatorname {Rad} (R_{R})}$ ein zweiseitiges Ideal.
• ${\displaystyle \operatorname {Rad} (M/\operatorname {Rad} (M))=\{0\}}$. Der kleinste Untermodul ${\displaystyle C}$ von ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle \operatorname {Rad} (M/C)=\{0\}}$ ist ${\displaystyle \operatorname {Rad} (M)}$.
• Das Radikal ist mit direkten Summen vertauschbar. Das heißt: Ist ${\displaystyle (M_{i}\mid i\in I)}$ eine Familie von Moduln, so gilt: ${\displaystyle \textstyle \operatorname {Rad} (\bigoplus _{i}M_{i})=\bigoplus _{i}\operatorname {Rad} (M_{i})}$.
• ${\displaystyle M\cdot \operatorname {Rad} (R_{R})}$ ist ein Untermodul von ${\displaystyle \operatorname {Rad} (M)}$.
• Ist ${\displaystyle M}$ endlich erzeugt, so ist ${\displaystyle \operatorname {Rad} (M)}$ klein in ${\displaystyle M}$.
• Ist ${\displaystyle M}$ endlich erzeugt und das Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ein Untermodul von ${\displaystyle \operatorname {Rad} (R_{R})}$, dann ist ${\displaystyle M\cdot {\mathfrak {a}}}$ klein in ${\displaystyle M}$. Dies ist das Lemma von Nakayama.