Unitäres Element

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra mit Einselement ${\displaystyle e}$, so heißt ein Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ unitär, falls ${\displaystyle aa^{*}=a^{*}a=e}$, also wenn ${\displaystyle a}$ invertierbar ist und ${\displaystyle a^{-1}=a^{*}}$ gilt.

Die Menge der unitären Elemente wird mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{U}}$ oder ${\displaystyle U({\mathcal {A}})}$ bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft (${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

• Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine unitäre C*-Algebra und ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element. Genau dann ist ${\displaystyle a}$ unitär, wenn das Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$ nur aus Elementen der Kreisgruppe ${\displaystyle \mathbb {T} }$ besteht, das heißt ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid |\lambda |=1\}}$.

• Trivialerweise ist das Einselement ${\displaystyle e}$ unitär.

• Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine unitäre C*-Algebra. Ist ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element einer C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, dann definiert jede auf dem Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$ stetige Funktion ${\displaystyle f}$, mittels stetigem Funktionalkalkül ein unitäres Element ${\displaystyle f(a)}$, falls ${\displaystyle f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} }$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine unitäre *-Algebra und ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{U}}$. Dann gilt:

• Das Element ${\displaystyle ab}$ ist unitär, da ${\textstyle ((ab)^{*})^{-1}=(b^{*}a^{*})^{-1}=(a^{*})^{-1}(b^{*})^{-1}=ab}$. Insbesondere bildet ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{U}}$ eine multiplikative Gruppe.
• Das Element ${\displaystyle a}$ ist normal.
• Das adjungierte Element ${\displaystyle a^{*}}$ ist ebenfalls unitär, da ${\displaystyle a=(a^{*})^{*}}$ für die Involution * gilt.
• Wenn ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra ist, hat ${\displaystyle a}$ Norm 1, also ${\displaystyle \left\|a\right\|=1}$.

• Unitäre Matrix
• Unitärer Operator

• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.