Unitäre Matrix

Eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist aufgrund der linearen Unabhängigkeit ihrer Zeilen- und Spaltenvektoren stets regulär. Die Inverse einer unitären Matrix ist dabei gleich ihrer Adjungierten, das heißt, es gilt

${\displaystyle U^{H}=U^{-1}}$.

Die Inverse einer Matrix ${\displaystyle U}$ ist nämlich gerade diejenige Matrix ${\displaystyle U^{-1}}$, für die

${\displaystyle U\,U^{-1}=U^{-1}\,U=I}$

gilt. Es gilt auch die Umkehrung und jede Matrix ${\displaystyle U}$, deren Adjungierte gleich ihrer Inversen ist, ist unitär, denn es gilt dann

${\displaystyle U^{H}\,U=U^{-1}\,U=I}$.

Zudem ist auch die Adjungierte einer unitären Matrix unitär, denn

${\displaystyle UU^{H}=I}$.

Wird ein Vektor ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ mit einer unitären Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ multipliziert, ändert sich die euklidische Norm des Vektors nicht, das heißt

${\displaystyle \|U\,x\|_{2}=\|x\|_{2}}$.

Weiter ist das Standardskalarprodukt zweier Vektoren ${\displaystyle x,y\in \mathbb {C} ^{n}}$ invariant bezüglich der Multiplikation mit einer unitären Matrix ${\displaystyle U}$, also

${\displaystyle \left\langle U\,x,U\,y\right\rangle =\left\langle x,y\right\rangle }$.

Beide Eigenschaften folgen direkt aus der Verschiebungseigenschaft des Standardskalarprodukts. Daher stellt die Abbildung

${\displaystyle f\colon \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n},\quad x\mapsto U\,x}$

eine Kongruenzabbildung im unitären Raum ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ dar. Umgekehrt ist die Abbildungsmatrix bezüglich der Standardbasis jeder linearen Abbildung im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, die das Standardskalarprodukt erhält, unitär. Aufgrund der Polarisationsformel gilt dies auch für die Abbildungsmatrix jeder linearen Abbildung, die die euklidische Norm erhält.

Für den komplexen Betrag der Determinante einer unitären Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ gilt

${\displaystyle |\det U|=1}$,

was mit Hilfe des Determinantenproduktsatzes über

${\displaystyle \det U\cdot {\overline {\det U}}=\det U\cdot \det {\bar {U}}=\det U\cdot \det U^{H}=\det(UU^{H})=\det I=1}$

folgt.

Die Eigenwerte einer unitären Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ haben ebenfalls alle den Betrag eins, sind also von der Form

${\displaystyle \lambda =e^{it}}$

mit ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$. Ist nämlich ${\displaystyle x}$ ein zu ${\displaystyle \lambda }$ gehöriger Eigenvektor, dann gilt aufgrund der Invarianz bezüglich der euklidischen Norm und der absoluten Homogenität einer Norm

${\displaystyle \|x\|_{2}=\|U\,x\|_{2}=\|\lambda \,x\|_{2}=|\lambda |\,\|x\|_{2}}$

und daher ${\displaystyle |\lambda |=1}$.

Eine unitäre Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist normal, das heißt, es gilt

${\displaystyle U\,U^{H}=U^{H}\,U}$,

und daher diagonalisierbar. Nach dem Spektralsatz gibt es eine weitere unitäre Matrix ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, sodass

${\displaystyle V^{-1}\,U\,V=D}$

gilt, wobei ${\displaystyle D\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von ${\displaystyle U}$ ist. Die Spaltenvektoren von ${\displaystyle V}$ sind dann paarweise orthonormale Eigenvektoren von ${\displaystyle U}$. Damit sind auch die Eigenräume einer unitären Matrix paarweise orthogonal.

Die Spektralnorm einer unitären Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ist

${\displaystyle \|U\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|U\,x\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|x\|_{2}=1}$.

Für die Frobeniusnorm gilt mit dem Frobenius-Skalarprodukt entsprechend

${\displaystyle \|U\|_{F}={\sqrt {\langle U,U\rangle _{F}}}={\sqrt {\langle I,I\rangle _{F}}}={\sqrt {n}}}$.

Das Produkt mit einer unitären Matrix erhält sowohl die Spektralnorm, als auch die Frobeniusnorm einer gegebenen Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$, denn es gilt

${\displaystyle \|U\,A\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|U\,A\,x\|_{2}=\max _{\|x\|_{2}=1}\|A\,x\|_{2}=\|A\|_{2}}$

und

${\displaystyle \|U\,A\|_{F}={\sqrt {\langle U\,A,U\,A\rangle _{F}}}={\sqrt {\langle A,A\rangle _{F}}}=\|A\|_{F}}$.

Damit bleibt auch die Kondition einer Matrix bezüglich dieser Normen nach Multiplikation mit einer unitären Matrix erhalten.

Ist ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ eine unitäre und ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ eine idempotente Matrix, gilt also ${\displaystyle A\,A=A}$, dann ist die Matrix

${\displaystyle B=U\,A\,U^{H}}$

ebenfalls idempotent, denn

${\displaystyle B\,B=U\,A\,U^{H}U\,A\,U^{H}=U\,A\,A\,U^{H}=U\,A\,U^{H}=B}$.

Mit Hilfe einer Singulärwertzerlegung lässt sich jede Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ als Produkt

${\displaystyle A=U\,\Sigma \,V^{H}}$

einer unitären Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{m\times m}}$, einer Diagonalmatrix ${\displaystyle \Sigma \in \mathbb {C} ^{m\times n}}$ und der Adjungierten einer weiteren unitären Matrix ${\displaystyle V\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ darstellen. Die Diagonaleinträge der Matrix ${\displaystyle \Sigma }$ sind dann die Singulärwerte von ${\displaystyle A}$.

Eine quadratische Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ kann mittels der Polarzerlegung auch als Produkt

${\displaystyle A=U\,P}$

einer unitären Matrix ${\displaystyle U\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ und einer positiv semidefiniten hermiteschen Matrix ${\displaystyle P\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ faktorisiert werden.

Ist ${\displaystyle (V,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler komplexer Skalarproduktraum, dann lässt sich jede lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ nach Wahl einer Orthonormalbasis ${\displaystyle \{e_{1},\dotsc ,e_{n}\}}$ für ${\displaystyle V}$ durch die Abbildungsmatrix

${\displaystyle A_{f}=(a_{ij})\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$

darstellen, wobei ${\displaystyle f(e_{j})=a_{1j}e_{1}+\dotsb +a_{nj}e_{n}}$ für ${\displaystyle j=1,\dotsc ,n}$ ist. Die Abbildungsmatrix ${\displaystyle A_{f}}$ ist nun genau dann unitär, wenn ${\displaystyle f}$ eine unitäre Abbildung ist. Dies folgt aus

${\displaystyle \langle f(v),f(w)\rangle =(A_{f}x)^{H}(A_{f}y)=x^{H}A_{f}^{H}A_{f}y=x^{H}y=\langle v,w\rangle }$,

wobei ${\displaystyle v=x_{1}e_{1}+\dotsb +x_{n}e_{n}}$ und ${\displaystyle w=y_{1}e_{1}+\dotsb +y_{n}e_{n}}$ sind.

Unitäre Matrizen werden auch häufig in der Quantenmechanik im Rahmen der Matrizenmechanik verwendet. Beispiele sind:

• die Dirac-Matrizen
• die Pauli-Matrizen
• die S-Matrix
• die CKM-Matrix
• die PMNS-Matrix

Eine weitere wichtige Anwendung unitärer Matrizen besteht in der diskreten Fourier-Transformation komplexer Signale.