Ungleichung von Beppo Levi

Gegeben sei ein Prä-Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, versehen mit der aus dem zugrundeliegenden Skalarprodukt herrührenden Norm ${\displaystyle \|\cdot \|}$. Weiter seien ein Untervektorraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subseteq {\mathcal {H}}}$ und drei Vektoren ${\displaystyle x\in {\mathcal {H}}}$ sowie ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in {\mathcal {M}}}$ gegeben. Ist nun

${\displaystyle d=\inf _{y\in {\mathcal {M}}}\|x-y\|}$

der Abstand von ${\displaystyle x}$ zu ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, so gilt:

${\displaystyle \|y_{1}-y_{2}\|\leq {\sqrt {{\|x-y_{1}\|}^{2}-d^{2}}}+{\sqrt {{\|x-y_{2}\|}^{2}-d^{2}}}}$.

• Der Beweis der Ungleichung beruht auf ähnlichen Schlüssen wie die des Beweises der Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung.
• Die Ungleichung gilt insbesondere für jeden Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Sie liefert im Beweis des Projektionssatzes das entscheidende Argument, wonach für einen Unterhilbertraum der zugehörige Projektionsoperator stets existiert.[2]
• Im Falle ${\displaystyle {\mathcal {M}}={\mathcal {H}}}$ ist ${\displaystyle d=0}$ und man erhält die Dreiecksungleichung.

• Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4 (MR1038909).

1. Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 1990, S. 107 ff.
2. Neumark, op. cit., S. 108–109.