Unendlichdimensionales Lebesgue-Maß

1933 bewies Alfréd Haar[2]

Auf jeder lokalkompakten Gruppe ${\displaystyle G}$ existiert ein links-invariantes Haar-Maß ${\displaystyle \mu }$, das bedeutet ein reguläres Borel-Maß, so dass

${\displaystyle \mu (gA)=\mu (A),\qquad \forall g\in G}$

für alle Borel-Mengen ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}(G)}$ gilt.

Wenn ${\displaystyle G}$ abelsch ist, so ist ${\displaystyle \mu }$ auch rechts-invariant. 1936 bewies John von Neumann[3]

Das Haar-Maß ist das einzige σ-endliche links-invariante Borel-Maß auf lokalkompakten Gruppen bis auf eine Multiplikation mit einer Konstante.

1940 bewies dann André Weil die Umkehrung des Satzes von Haar[4]

Falls ${\displaystyle G}$ eine separable topologische Gruppe ist und ${\displaystyle \mu }$ ein σ-endliches, translations-invariantes Borel-Maß ist, dann existiert immer eine äquivalente Topologie ${\displaystyle \chi }$, welche lokalkompakt ist.

Ein ähnliches Resultat lieferte John C. Oxtoby 1946 für polnische Gruppen, welches er Stanisław Marcin Ulam zuschreibt[5]

Falls ${\displaystyle G}$ eine nicht lokalkompakte polnische Gruppe ist und ${\displaystyle \mu }$ ein links-invariantes Borel-Maß, welches mindestens einer Menge einen positiven Wert zuweist, dann enthält jede Umgebung überabzählbar viele paarweise disjunkte kongruente Mengen mit demselben endlichen Maß.

Dieser Satz impliziert folgendes

Auf einer nicht lokalkompakten polnischen Gruppe ${\displaystyle G}$ existiert kein σ-endliches, links-invariantes Borel-Maß ${\displaystyle \mu }$.

Unwissend über Oxtobys Resultat, bewies dann 1959 Wladimir N. Sudakow explizit[6]

Auf dem topologischen Vektorraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{\mathbb {N} },\tau )}$ existiert kein σ-endliches, translations-invariantes Borel-Maß.[7]

Der Satz von Weil gilt sogar für quasi-invariante Maße. Quasi-invariante Maße können auf nicht lokalkompakten unendlichdimensionalen Räumen existieren, wenn der Raum der zulässigen Translationen das Nullmaß hat, allerdings können solche Räume riesig sein, zum Beispiel unendlichdimensionale Banach-Räume.[8] Dies ist zum Beispiel der Fall beim gaußschen Maß.

Sei ${\displaystyle X}$ ein separabler unendlichdimensionaler Banach-Raum. Sei nun ${\displaystyle \mu }$ ein translations-invariantes Borel-Maß. Nach dem Lemma von Riesz existiert in jedem offenen Ball ${\displaystyle B_{r}(x)}$ mit ${\displaystyle r>0}$ eine abzählbare-unendliche Folge ${\displaystyle \{B_{\varepsilon }(x_{i})\}_{i=1}^{\infty }}$ von disjunkten, offenen Bällen mit gleichem Radius ${\displaystyle 0<\varepsilon <r}$. Wir entscheiden uns für den Einheitsball ${\displaystyle B_{1}(0)}$. Weil ${\displaystyle \mu }$ translations-invariant ist, gilt

${\displaystyle \mu (B_{\varepsilon }(x_{i}))=\alpha ,\quad \alpha \in [0,\infty )}$

für alle Bälle ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$. Nun gibt es zwei Möglichkeiten

• Falls ${\displaystyle \alpha >0}$, dann gilt wegen der σ-Additivität

${\displaystyle \mu (B_{1}(0))\geq \sum \limits _{i=1}^{\infty }\mu (B_{\varepsilon }(x_{i}))=\sum \limits _{i=1}^{\infty }\alpha =\infty .}$

• Falls ${\displaystyle \alpha =0}$, dann können wir wegen der Separabilität ${\displaystyle X}$ mit abzählbar vielen Bällen mit

${\displaystyle \mu (B_{\varepsilon }(x_{i}))=0}$

überdecken, somit gilt ${\displaystyle \mu (X)=0}$.

Die einzigen Kandidaten für ein solches Maß sind also das triviale Nullmaß ${\displaystyle \mu (A)=0}$ für alle Borel-Mengen ${\displaystyle A}$ oder ${\displaystyle \mu (B_{r}(x))=\infty }$ für alle offenen Bälle zum Radius ${\displaystyle r>0}$ um einen beliebigen Punkt ${\displaystyle x\in X}$.