Umkreis

Beim spitzwinkligen Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks.

Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse zugleich Umkreismittelpunkt (siehe Satz des Thales).

Beim stumpfwinkligen Dreieck (mit einem Winkel über 90°) befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

Der Umkreisradius eines Dreiecks lässt sich mit dem Sinussatz berechnen:

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{2\cdot \sin(\alpha )}}={\frac {b}{2\cdot \sin(\beta )}}={\frac {c}{2\cdot \sin(\gamma )}}}$

oder aus der Dreiecksfläche

${\displaystyle r_{u}={\frac {a\cdot b\cdot c}{4\cdot A}}}$.

Dabei stehen die Bezeichnungen ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ für die Seitenlängen und ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ für die Größen der respektive den Seiten mit den Längen ${\displaystyle a,b,c}$ gegenüberliegenden Innenwinkel. ${\displaystyle A}$ bezeichnet den Flächeninhalt des Dreiecks, der sich z. B. mit Hilfe der heronischen Formel berechnen lässt.

Für den Umkreisradius im gleichseitigen Dreieck gilt

${\displaystyle r_{u}={\frac {a}{\sqrt {3}}}}$.

Die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts ${\displaystyle (x_{u},y_{u})}$ können aus den kartesischen Koordinaten der Eckpunkte berechnet werden. Die Koordinaten der drei Eckpunkte seien ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$ und ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$.

Mit

${\displaystyle d=2(x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}))}$

ergeben sich die kartesischen Koordinaten des Umkreismittelpunkts zu

${\displaystyle x_{u}={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(y_{2}-y_{3})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(y_{3}-y_{1})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(y_{1}-y_{2})}{d}}}$

und

${\displaystyle y_{u}={\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{3}-x_{2})+(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}^{2}+y_{3}^{2})(x_{2}-x_{1})}{d}}}$.

Umkreismittelpunkt eines Dreiecks ${\displaystyle \left(X_{3}\right)}$
Trilineare Koordinaten	${\displaystyle \cos \alpha \,:\,\cos \beta \,:\,\cos \gamma }$ ${\displaystyle =a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,:\,b(c^{2}+a^{2}-b^{2})\,:\,c(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$
Baryzentrische Koordinaten	${\displaystyle \sin(2\alpha )\,:\,\sin(2\beta )\,:\,\sin(2\gamma )}$

• Der Umkreismittelpunkt liegt wie der Schwerpunkt und der Höhenschnittpunkt auf der eulerschen Geraden.
• Nach dem Südpolsatz schneidet sich die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite mit der Winkelhalbierenden des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis.
• Die Entfernung zwischen Umkreismittelpunkt und Inkreismittelpunkt beträgt ${\displaystyle {\sqrt {R(R-2r)}}}$, wobei ${\displaystyle R}$ den Umkreisradius und ${\displaystyle r}$ den Inkreisradius bezeichnet (Satz von Euler).
• Die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten ist gleich der Summe aus Umkreis- und Inkreisradius (siehe Satz von Carnot).
• Der Satz vom Dreizack stellt einen Zusammenhang zwischen Umkreis und Inkreis her.
• Der Umkreis ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Orthogonalprojektionen auf die Dreiecksseiten kollinear sind.[1]

Die Aussage, dass sich die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten in einem Punkt schneiden, wird in der synthetischen Geometrie als Mittellotensatz bezeichnet. Dort kann für allgemeinere affine Ebenen, in denen kein Abstandsbegriff und damit keine „Kreise“ definiert sind, gezeigt werden, dass dieser Satz äquivalent zum Höhenschnittpunktsatz ist. → Siehe dazu Höhenschnittpunkt und präeuklidische Ebene.

Beweisfigur

Gegeben sei ein Dreieck ${\displaystyle ABC}$ und sein Höhenschnittpunkt ${\displaystyle H}$. Dann haben die von drei der vier Punkte ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle H}$ gebildeten Dreiecke kongruente Umkreise.

Die vier Punkte ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle H}$ werden auch als orthozentrisches Quadrupel bezeichnet.

Beweis:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird die Kongruenz der Umkreise für die beiden Dreiecke ${\displaystyle ABC}$ und ${\displaystyle ABH}$ gezeigt. Im Dreieck ${\displaystyle ABE}$ ergänzen sich der rot markierte Winkel ${\displaystyle \angle HBF}$ und der Winkel ${\displaystyle \angle FAE}$ zu 90°. Ebenso ergänzen sich im Dreieck ${\displaystyle CAF}$ der rot markierte Winkel ${\displaystyle \angle ECH}$ und der Winkel ${\displaystyle \angle FAE}$ zu 90°. Hieraus folgt, dass die beiden rot markierten Winkel gleich groß sind.

Der Punkt ${\displaystyle P}$ ist der zweite Schnittpunkt des Umkreises des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ mit der verlängerten Dreieckshöhe durch ${\displaystyle C}$. Der rot markierte Winkel ${\displaystyle \angle ECH}$ und der grün markierte Winkel ${\displaystyle \angle FBP}$ sind als Umfangswinkel am Kreisbogen über ${\displaystyle AP}$ gleich groß. Damit sind auch der rot markierte Winkel ${\displaystyle \angle HBF}$ und der grün markierte Winkel ${\displaystyle \angle FBP}$ gleich groß. Folglich sind nach dem Kongruenzsatz WSW dann auch die rechtwinkligen Dreiecke ${\displaystyle BHF}$ und ${\displaystyle PBF}$ kongruent. Somit sind nach dem Kongruenzsatz SWS auch die Dreiecke ${\displaystyle ABH}$ und ${\displaystyle BAP}$ kongruent, also sind auch ihre Umkreise kongruent.

Da der Umkreis des Dreiecks ${\displaystyle BAP}$ auch der des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ ist und die Umkreise der Dreiecke ${\displaystyle ABH}$ und ${\displaystyle BAP}$ kongruent sind, haben auch die Dreiecke ${\displaystyle ABC}$ und ${\displaystyle ABH}$ kongruente Umkreise. Damit ist die Aussage bewiesen.[2]