Umkehrregel

Die Umkehrregel kann direkt gezeigt werden, indem man den Differenzenquotient

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

dahingehend umformt, dass er zu

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {1}{\frac {f^{-1}(f(x+h))-f^{-1}(f(x))}{f(x+h)-f(x)}}}}$

wird, um anschließend mit ${\displaystyle t=f(x+h)-f(x)}$ zu substituieren. Beim Grenzübergang für ${\displaystyle h\to 0}$ und damit auch ${\displaystyle t\to 0}$ (man beachte, dass differenzierbare Funktionen insbesondere stetig sind) folgt:

${\displaystyle f'(x)\approx {\frac {1}{\frac {f^{-1}(f(x)+t)-f^{-1}(f(x))}{t}}}={\frac {1}{(f^{-1})'(f(x))}}}$

und somit

${\displaystyle {\frac {1}{f'(x)}}\approx (f^{-1})'(f(x))}$

Alternativ ergibt unter Nutzung der Kettenregel die Eigenschaft

${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$

der Umkehrfunktion bei Differenzieren nach ${\displaystyle y}$ auf beiden Seiten der Gleichung ebenfalls die Umkehrregel (mit ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$):

${\displaystyle f'\left(f^{-1}(y)\right)\cdot \left(f^{-1}\right)'(y)=1.}$

Allerdings wird dabei die Differenzierbarkeit von ${\displaystyle f^{-1}}$ an der Stelle ${\displaystyle y}$ schon vorausgesetzt, während sie in der ersten Beweisskizze mitbewiesen wird.

Ganz ähnlich erhält man auch einen Ausdruck für die 2. Ableitung der Umkehrfunktion ${\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)}$, indem man die letzte Gleichung erneut nach ${\displaystyle y}$ differenziert unter Anwendung der Produktregel (wieder ist ${\displaystyle f^{-1}(y)=x}$ bzw. ${\displaystyle f(x)=y}$):

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)''(y)=-{\frac {f''(x)}{\left(f'(x)\right)^{3}}}.}$

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ${\displaystyle y=f(x)=e^{x}}$ ist der natürliche Logarithmus

${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)\,.}$

Wegen ${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$ gilt also

${\displaystyle \ln '(y)={\frac {1}{e^{\ln(y)}}}={\frac {1}{y}}\,.}$

Eine weitere wichtige Anwendung der Umkehrregel sind die Ableitungen der Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. So gilt z. B. für die Ableitung des Arkussinus für ${\displaystyle -1<y<1}$ wegen ${\displaystyle \sin '=\cos }$

${\displaystyle \arcsin '(y)={\frac {1}{\cos \left(\arcsin(y)\right)}}\,.}$

Stellt man den trigonometrischen Pythagoras nach dem Kosinus um, erhält man

${\displaystyle \cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}}$.

Wegen ${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$ folgt daraus:

${\displaystyle \arcsin '(y)={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\left(\arcsin(y)\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}\,.}$

Analoges gilt für die Ableitungen des Arkuskosinus und des Arkustangens.

Fordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von ${\displaystyle f}$, so genügt bereits die Voraussetzung ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$, da daraus direkt ${\displaystyle f'\neq 0}$ auf einem kleinen Bereich um ${\displaystyle x}$ und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ auf diesem kleinen Bereich folgt (man betrachte dazu die Monotonie von ${\displaystyle f}$!). Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel, dem Satz von der inversen Abbildung, aus.

• Konrad Königsberger: Analysis 1. 6. durchgesehene Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-40371-X, (Springer-Lehrbuch).