Unidirektionale Schicht

Die Beschreibung der UD-Schicht erfolgt in einem physikalischen ${\displaystyle \|,\perp }$-Koordinatensystem, bzw. im 1,2,3-System. Dabei entspricht 1 und ${\displaystyle \|}$ der faserparallelen Richtung und 2, 3 bzw. ${\displaystyle \perp }$ der fasersenkrechten Richtung. Die Orthotropieachsen fallen mit den Koordinatenachsen zusammen.

International ist die 1,2,3-Indizierung üblich. Im englischsprachigen Raum wird jedoch oft eine andere Indizierung der Querkontraktionszahlen benutzt. Da die Querkontraktionszahlen ${\displaystyle \nu _{\|\perp }}$ und ${\displaystyle \nu _{\perp \|}}$ nicht identisch sind, kann es hier schnell zu Irrtümern kommen. Die Querkontraktionszahl ${\displaystyle \nu _{\perp \|}}$ ist stets die kleinere von beiden. Sie wird im Englischen, um Verwechslungen vorzubeugen, minor poisson ratio genannt.

Polardiagramm der Elastizitätsmodulen einer UD-Schicht.

Die Grundelastizitätsgrößen einer UD-Schicht berechnen sich aus den Elastizitätsgrößen von Faser und Matrix auf mikromechanischer Basis. Entsprechend ihrem Faservolumenanteil gehen die Elastizitätsgrößen in die Gesamtsteifigkeit ein. Dabei wird in eine Reihenschaltung oder Parallelschaltung der Steifigkeiten unterschieden.

Die elastischen Kennwerte des orthotropen Materials lassen sich aufgrund der Symmetrie in der 2-3-Ebene reduzieren auf die E-Moduln ${\displaystyle E_{\|}}$ und ${\displaystyle E_{\perp }}$, Schubmoduln ${\displaystyle G_{\|\perp }}$ und ${\displaystyle G_{\perp \perp }}$ und Poissonzahlen ${\displaystyle \nu _{\|\perp }}$ und ${\displaystyle \nu _{\perp \perp }}$. Diese lassen sich unterteilen in unabhängige und abhängige Elastizitätsgrößen.

Die unabhängigen Elastizitätsgrößen sind der UD-Schicht eigen und können auf keinem anderen Weg berechnet werden. Alternativ können sie in Versuchen bestimmt werden. Dies erweist sich jedoch, besonders im Fall der Querkontraktionszahlen, als schwierig. Daher wird überwiegend der Berechnungsweg über die Mikromechanik gewählt. Um Effekte wie die Dehnungsvergrößerung zu berücksichtigen, sind eine Reihe von Korrekturen notwendig, die jedoch in der Mikromechanik berücksichtigt werden. Berechnungsverfahren können der Literatur entnommen werden.

Die abhängigen Elastizitätsgrößen werden aus den unabhängigen Elastizitätsgrößen berechnet.

Die folgenden Grundelastizitätsgrößen sind notwendig, um eine UD-Schicht vollständig zu beschreiben.

• 2-dimensionales Elastizitätsgesetz: ${\displaystyle E_{\|},E_{\perp },G_{\|\perp },\nu _{\|\perp }}$
• 3-dimensionales Elastizitätsgesetz: ${\displaystyle E_{\|},E_{\perp },G_{\|\perp },\nu _{\|\perp },\nu _{\perp \perp }}$

Anders als bei isotropen Werkstoffen lässt sich der Schubmodul ${\displaystyle G_{\|\perp }}$ nicht aus der Querkontraktionszahl berechnen. Dieser Schubmodul ist daher eine unabhängige Größe.

Der Elastizitätsmodul in faserparalleler Richtung ${\displaystyle E_{\|}}$ ist wesentlich größer als der Modul in fasersenkrechter Richtung ${\displaystyle E_{\perp }}$. Dies ist darin begründet, dass die parallele Richtung von den steifen Fasern dominiert wird, während die senkrechte Richtung matrixdominiert ist.

Aus den unabhängigen Elastizitätsgrößen können die fehlenden abhängigen Elastizitätsgrößen berechnet werden. Der Schubmodul in der transversal isotropen Ebene berechnet sich wie im Isotropen aus: ${\displaystyle G_{\perp \perp }={\frac {E_{\perp }}{2(1+\nu _{\perp \perp })}}}$. Die zweite Querkontraktionszahl ${\displaystyle \nu _{\perp \|}}$ wird aus der Maxwell-Betti-Beziehung ${\displaystyle \nu _{\perp \|}=\nu _{\|\perp }{\frac {E_{\perp }}{E_{\|}}}}$ berechnet.

Mit Hilfe der abhängigen und unabhängigen Elastizitätsgrößen lässt sich die Steifigkeitsmatrix für den ebenen Spannungsfall aufstellen.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\displaystyle {\frac {E_{\|}}{1-\nu _{\|\perp }\nu _{\perp \|}}}&\displaystyle {\frac {\nu _{\|\perp }E_{\perp }}{1-\nu _{\|\perp }\nu _{\perp \|}}}&0\\[3ex]\displaystyle {\frac {\nu _{\perp {\|}}E_{\|}}{1-\nu _{\|\perp }\nu _{\perp \|}}}&\displaystyle {\frac {E_{\perp }}{1-\nu _{\|\perp }\nu _{\perp \|}}}&0\\[3ex]0&0&G_{\perp \|}\end{bmatrix}}}$

Die Matrix für den räumlichen Spannungsfall ergibt sich analog.