Typ-III-Von-Neumann-Algebra

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element ${\displaystyle e}$, das heißt, es gilt ${\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}$. Eine solche Projektion heißt endlich, falls aus ${\displaystyle e=v^{*}v}$ und ${\displaystyle vv^{*}\leq e}$ stets ${\displaystyle vv^{*}=e}$ folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ III, falls sie keine von 0 verschiedenen endlichen Projektionen besitzt.[1]

Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ III Von-Neumann-Algebren führt. Die unten beschriebene Connes-Klassifikation der Typ III Faktoren liefert weitere Beispiele.

Der Satz von Takesaki führt die Typ-III-Von-Neumann-Algebren auf Typ-II_∞-Algebren zurück:

Zu jeder Typ-III-Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ gibt es W*-dynamisches System ${\displaystyle (A_{1},\mathbb {R} ,\alpha )}$, wobei ${\displaystyle A_{1}}$ eine Typ-II_∞-Algebra ist, so dass ${\displaystyle A\cong A_{1}\ltimes _{\alpha }\mathbb {R} }$.[2]

Dazu verwendet man das W*-dynamische System ${\displaystyle (A,\mathbb {R} ,\sigma )}$, das sich aus der Tomita-Takesaki-Theorie ergibt, und bildet die Typ-II_∞-Algebra ${\displaystyle A_{1}:=A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} }$. Mit dem dualen W*-dynamischen System ${\displaystyle (A_{1},\mathbb {R} ,{\hat {\sigma }})}$ folgt dann

${\displaystyle A_{1}\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} =(A\ltimes _{\sigma }\mathbb {R} )\ltimes _{\hat {\sigma }}\mathbb {R} \cong A\otimes L(L^{2}(\mathbb {R} ))}$     wegen Dualität

${\displaystyle \cong A}$,     da ${\displaystyle A}$ eine Typ-III-Von-Neumann-Algebra ist.[3]

Zu einem Typ-III-Faktor, das heißt zu einer Typ-III-Von-Neumann-Algebra mit Zentrum ${\displaystyle \mathbb {C} \cdot 1}$, konstruieren wir eine isomorphieinvariante Zahl ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$, die dann zum Begriff des Typ-III_λ-Faktors führt.

Sei ${\displaystyle \varphi }$ ein normaler Zustand auf der Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$. Dann gibt es eine kleinste Projektion ${\displaystyle p\in A}$ mit ${\displaystyle \varphi (p)=1}$. Dann ist ${\displaystyle pAp}$ eine Von-Neumann-Algebra und die Einschränkung von ${\displaystyle \varphi }$ ist ein treuer, normaler Zustand, auf den die Tomita-Takesaki-Theorie angewendet werden kann, das heißt, es gibt einen modularen Operator ${\displaystyle \Delta _{\varphi }}$. Da dieser ein positiver Operator ist, liegt dessen Spektrum ${\displaystyle \sigma (\Delta _{\varphi })}$ in ${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}$. Man definiert

${\displaystyle S(A):=\bigcap \{\sigma (\Delta _{\varphi });\,\varphi {\text{ normaler Zustand auf }}A\}\subset \mathbb {R} _{0}^{+}}$.

Man kann zeigen, dass 0 genau dann in ${\displaystyle S(A)}$ liegt, wenn ${\displaystyle A}$ vom Typ III ist, anderenfalls gilt ${\displaystyle S(A)=\{1\}}$.[4] Für σ-endliche Faktoren liegt genau einer der folgenden drei Fälle vor:[5]

• ${\displaystyle S(A)\setminus \{0\}=\{1\}}$
• ${\displaystyle S(A)\setminus \{0\}=\{\lambda ^{n};\,n\in \mathbb {Z} \}}$ für ein ${\displaystyle 0<\lambda <1}$
• ${\displaystyle S(A)\setminus \{0\}=\mathbb {R} ^{+}}$

Im ersten Fall nennt man ${\displaystyle A}$ einen Typ-III₀-Faktor, im zweiten Fall einen Typ-III_λ-Faktor und im dritten Fall einen Typ-III₁-Faktor. Dies ist die Connes-Klassifikation der Typ-III-Faktoren.

Sind ${\displaystyle \lambda ,\mu \in [0,1]}$ verschieden, so ist ein Typ-III_λ-Faktor nicht isomorph zu einem Typ-III_µ-Faktor, denn die Menge ${\displaystyle S(A)}$ ist eine Isomorphie-Invariante. Es gibt also ein Kontinuum von paarweise nicht isomorphen Typ-III-Faktoren.

Wir wollen kurz die Existenz der Typ-III_λ-Faktoren besprechen. Dazu konstruieren wir einen Zustand ${\displaystyle \varphi _{\mu }}$ auf der CAR-Algebra. Zu einem ${\displaystyle \mu \in [0,1]}$ kann man rekursiv Zustände ${\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n)}:M_{2^{n}}\rightarrow \mathbb {C} }$ definieren, wobei

• ${\displaystyle \varphi _{\mu }^{(0)}:M_{2^{0}}\cong \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ die identische Abbildung sei und
• ${\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n)}(x)=\mu \varphi _{\mu }^{(n-1)}(x_{1,1})+(1-\mu )\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x_{2,2})}$ für jedes ${\displaystyle n>0}$, wobei ${\displaystyle x=(x_{i,j})}$ als ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix mit Elementen aus ${\displaystyle M_{2^{n-1}}}$ geschrieben ist.

Dann ist die Einschränkung von ${\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n)}}$ auf ${\displaystyle M_{2^{n-1}}}$ gleich ${\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n-1)}}$, denn gemäß der Einbettung

${\displaystyle M_{2^{n-1}}\ni x\mapsto {\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}}\in M_{2^{n}}}$

ist

${\displaystyle (\varphi _{\mu }^{(n)}|_{M_{2^{n-1}}})(x)=\varphi _{\mu }^{(n)}({\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}})=\mu \varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)+(1-\mu )\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)=\varphi _{\mu }^{(n-1)}(x)}$.

Daher gibt es auf der CAR-Algebra einen eindeutigen Zustand ${\displaystyle \varphi _{\mu }}$, der auf allen ${\displaystyle M_{2^{n}}}$ mit ${\displaystyle \varphi _{\mu }^{(n)}}$ übereinstimmt. Zum Zustand ${\displaystyle \varphi _{\mu }}$ gehört mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung ${\displaystyle \pi _{\mu }:A\rightarrow L(H_{\mu })}$ auf einem Hilbertraum ${\displaystyle H_{\mu }}$. Für ${\displaystyle 0<\mu <{\frac {1}{2}}}$ ist das Bild ${\displaystyle \pi _{\mu }(A)\subset L(H_{\mu })}$ eine C*-Algebra, deren Abschluss in der schwachen Operatortopologie ein Faktor vom Typ III_λ ist, wobei ${\displaystyle \textstyle \lambda ={\frac {\mu }{1-\mu }}}$.[6]

• Typ-I-Von-Neumann-Algebra
• Typ-II-Von-Neumann-Algebra

1. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definition 6.5.1
2. A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Theorem II.4.8
3. A van Daele: Continuous crossed products and type III von Neumann algebras, Cambridge University Press (1978), ISBN 0-521-21975-2, Anhang C
4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.5
5. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.7 + 8.15.11
6. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 8.15.13