Typ-I-Von-Neumann-Algebra

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ ist selbstadjungiertes idempotentes Element ${\displaystyle e}$, das heißt, es gilt ${\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}$. Eine solche Projektion heißt abelsch, falls die Algebra ${\displaystyle eAe\subset A}$ kommutativ ist. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ I (lies: Typ eins), falls sie eine abelsche Projektion ${\displaystyle e}$ besitzt, so dass das Einselement die kleinste Projektion aus dem Zentrum der Algebra ist, deren Produkt mit ${\displaystyle e}$ gleich ${\displaystyle e}$ ist. Sie heißt genauer vom Typ I_n, wenn das Einselement Summe von ${\displaystyle n}$ paarweise orthogonalen, äquivalenten abelschen Projektionen ist. Dabei heißen zwei Projektionen ${\displaystyle e_{1},e_{2}}$ orthogonal, falls ${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$, und sie heißen äquivalent, falls es ein Element ${\displaystyle v\in A}$ gibt mit ${\displaystyle e_{1}=v^{*}v,e_{2}=vv^{*}}$. Die Summe ist bei unendlichem ${\displaystyle n}$ im Sinne der starken Operatortopologie zu verstehen.[1]

• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind vom Typ I, denn in diesem Fall ist das Einselement selbst eine abelsche Projektion.
• Die Algebra ${\displaystyle A=L(H)}$ der stetigen linearen Operatoren über einem Hilbertraum ${\displaystyle H}$ ist vom Typ I_n, wobei ${\displaystyle n}$ die Dimension des Hilbertraums ist. Ist nämlich ${\displaystyle (\xi _{i})_{i\in I}}$ eine Orthogonalbasis und ist ${\displaystyle e_{i}}$ die Projektion auf den eindimensionalen Unterraum ${\displaystyle \mathbb {C} \xi _{i}}$, so sind die ${\displaystyle e_{i}}$ abelsch, untereinander äquivalent und es ist ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=I}e_{i}=1}$.

Wir betrachten hier nur Von-Neumann-Algebren auf einem separablen Hilbertraum. Dann hat man für Typ-I_n-Algebren nur die Fälle ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots ,\infty }$ zu betrachten; anderenfalls müsste man für den unendlichen Fall noch nach Mächtigkeiten unterscheiden.

Jede Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ vom Typ I zerfällt in eine direkte Summe

${\displaystyle A=Ap_{1}\oplus Ap_{2}\oplus Ap_{3}\oplus \ldots \oplus Ap_{\infty }}$,

wobei

• jedes ${\displaystyle p_{n}}$ ist eine Projektion aus dem Zentrum von ${\displaystyle A}$ (möglicherweise 0)
• die ${\displaystyle p_{n}}$ sind paarweise orthogonal
• ${\displaystyle 1=p_{\infty }+p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots }$ im Sinne der starken Operatortopologie.
• ${\displaystyle Ap_{n}=p_{n}Ap_{n}}$ ist eine Von-Neumann-Algebra vom Typ I_n auf dem Hilbertraum ${\displaystyle p_{n}(H)}$, falls ${\displaystyle p_{n}\not =0}$.

Jede Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ vom Typ I_n ist isomorph zum Tensorprodukt ${\displaystyle L(H){\overline {\otimes }}\,\mathrm {cen} (A)}$, wobei ${\displaystyle H}$ ein n-dimensionaler Hilbertraum und ${\displaystyle \mathrm {cen} (A)}$ das Zentrum von ${\displaystyle A}$ ist.[2]

Da die Zentren abelsche Von-Neumann-Algebren sind und diese bekannt sind, ist damit die Struktur der Typ-I-Von-Neumann-Algebren aufgedeckt; es handelt sich um direkte Summen von Tensorprodukten von Algebren ${\displaystyle L(H)}$ mit abelschen Von-Neumann-Algebren. Daraus ergibt sich leicht, dass jede endlich-dimensionale Von-Neumann-Algebra vom Typ I ist und isomorph zu einer endlichen direkten Summe von Matrixalgebren ${\displaystyle L(\mathbb {C} ^{n})}$ ist.[3]

Eine Von-Neumann-Algebra ist genau dann vom Typ I, wenn sie isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra mit abelscher Kommutante ist.[4]

• Typ-I-C*-Algebra
• Typ-II-Von-Neumann-Algebra
• Typ-III-Von-Neumann-Algebra

1. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Kapitel 5.5: Von Neumann Algebras of Type I
2. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.5
3. R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.6.6
4. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-1254-9450-5, Theorem 5.5.11