Twistor-Theorie

Im Wesentlichen versucht die Twistor-Theorie, die grundlegenden mathematischen Eigenschaften der Relativitätstheorie und der Quantenmechanik zusammenzuführen. Im Falle der Relativitätstheorie sind das der Minkowski-Raum und seine krummlinige Verallgemeinerung, so genannte Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit der Signatur 1, die beide vier Dimensionen besitzen. Im Falle der Quantenmechanik sind das die komplexen Zahlen, auf die die nichtlokalen Eigenschaften der Quantentheorie zurückzuführen sind (z. B. Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon). Die Twistor-Theorie ist geprägt von vielen Symmetrieüberlegungen und mathematischer Eleganz. In der Twistor-Theorie wird nun versucht, durch eine Neuinterpretation im Rahmen der Twistor-Geometrie die fundamentalsten Aspekte der Relativität und der Quantenmechanik aus einer neuen Perspektive zu analysieren.

Die elementaren Objekte der Twistor-Theorie sind die Twistoren. Transformiert man einen Twistor aus dem Twistor-Raum in den Minkowski-Raum, so erhält man einen gewöhnlichen Lichtstrahl, wie man ihn als kausale Verbindung zwischen zwei Ereignissen in der speziellen Relativitätstheorie kennt. Zu bemerken ist, dass in der Twistor-Theorie nicht die Ereignisse die elementaren Entitäten darstellen, sondern ihre kausale Verknüpfung durch Lichtstrahlen. Ereignisse werden in der Twistor-Theorie als sekundäre Konstrukte aufgefasst. So befinden sich z. B. Ereignisse in der speziellen Relativitätstheorie an der Spitze zweier Kausalitätskegel. In der Twistor-Theorie wird nun dieser Sachverhalt umgedeutet und ein Ereignis als Schnittpunkt einer Schar von speziellen Lichtstrahlen interpretiert. Transformiert man die Schar von Lichtstrahlen, die auf dem Kausalitätskegel liegen, in den Twistorraum, so erhält man im Twistor-Bild eine Riemann-Sphäre im Twistor-Raum.

Die Idee der Twistor-Geometrie besteht darin, altbekannte Objekte und Eigenschaften der speziellen Relativitätstheorie und der Quantenmechanik in die Twistor-Sprache zu transferieren und mit den im Twistor-Raum bestehenden mathematischen Möglichkeiten zu analysieren. Die Korrespondenz zwischen Twistor-Raum und Minkowski-Raum wird durch die Twistor-Gleichung beschrieben: Die dem Twistor-Raum zugrunde liegende mathematische Struktur ist ein vierdimensionaler Vektorraum über dem Körper der komplexen Zahlen mit der Signatur 0. Die Vektoren des Twistor-Raumes nennt man Twistoren.

Gegeben sei ein Punkt ${\displaystyle R}$ im Minkowskiraum ${\displaystyle \mathbb {M} }$. In der Standardbasis habe dieser Punkt die Koordinaten ${\displaystyle (t,x,y,z)}$. Der Twistor-Raum ist nun ein vierdimensionaler komplexer Vektorraum. In Standardkoordinaten besitzt ein Element dieses Raumes vier komplexe Koordinaten ${\displaystyle (Z^{0},Z^{1},Z^{2},Z^{3})}$. Der Twistor ${\displaystyle \mathbf {T} }$ stimmt mit dem Raumzeitpunkt ${\displaystyle R}$ überein, wenn folgende Relation erfüllt ist:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z^{0}\\Z^{1}\\\end{bmatrix}}={\frac {i}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}t+z&x+iy\\x-iy&t-z\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Z^{2}\\Z^{3}\\\end{bmatrix}}}$

Aus dieser Grundgleichung lassen sich alle weiteren Grundlagen der Twistor-Theorie ableiten.

Ein Twistor ${\displaystyle \mathbf {T} }$ lässt sich gemäß ${\displaystyle \mathbf {T} =(\mathbf {\omega } ,\mathbf {\pi } )}$ in seine spinoriellen Teile zerlegen, wobei ${\displaystyle \mathbf {\omega } ,\mathbf {\pi } }$ beides 2-Spinoren sind. Die komplexe Konjugation des Twistors ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ergibt ${\displaystyle {\overline {\mathbf {T} }}=({\overline {\mathbf {\pi } }},{\overline {\mathbf {\omega } }})}$. Die Übereinstimmung eines Twistors ${\displaystyle \mathbf {T} }$ und eines Raumzeitpunktes ${\displaystyle R}$ lässt sich nun schreiben als

${\displaystyle \mathbf {\omega } =i\mathbf {r} \mathbf {\pi } }$,

wobei die Koordinaten von ${\displaystyle R}$ in folgender Matrixschreibweise angegeben werden:

${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r^{00'}&r^{01'}\\r^{10'}&r^{11'}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}t+z&x+iy\\x-iy&t-z\\\end{bmatrix}}}$

Der Impuls eines masselosen Teilchens kann durch das äußere Produkt ${\displaystyle {\overline {\mathbf {\pi } }}\mathbf {\pi } }$ ausgedrückt werden. Weiter kann der Drehimpuls des Teilchens bezüglich des Koordinatennullpunktes aus den spinoriellen Anteilen berechnet werden. Aus diesen Größen lässt sich auch die Helizität eines Teilchens berechnen.

Die Quantisierung in der Twistor-Theorie ist durch eine Kommutator-Relation gegeben:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{\alpha }{\overline {\mathbf {T} }}_{\beta }-{\overline {\mathbf {T} }}_{\beta }\mathbf {T} ^{\alpha }=\hbar \delta _{\beta }^{\alpha }}$

Eine Twistor-Wellenfunktion besitzt die Gestalt ${\displaystyle f(\mathbf {T} ^{\alpha })}$. Von einer Twistor-Wellenfunktion wird verlangt, dass sie unabhängig von ${\displaystyle {\overline {\mathbf {T} }}_{\alpha }}$ ist. Das führt für die Twistor-Wellenfunktionen zum Kriterium, dass ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {\mathbf {T} }}_{\alpha }}}f(\mathbf {T} ^{\alpha })=0}$. Formal ist das gleichbedeutend damit, dass die Twistor-Wellenfunktion die Cauchy-Riemann-Bedingung erfüllt, was wiederum bedeutet, dass die Twistor-Wellenfunktionen holomorphe Funktionen von ${\displaystyle \mathbf {T^{\alpha }} }$ sind.

Somit fungiert die komplex konjugierte Twistor-Variable ${\displaystyle {\overline {\mathbf {T} }}_{\alpha }}$ als Differentiation:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {T} }}_{\alpha }\mapsto -\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {T} ^{\alpha }}}}$

Übersicht über die Homogenität der Teilchenfamilien

Teilchenart	Helizität ${\displaystyle S}$	Homogenität des Teilchens	Homogenität des Antiteilchens
Photon	${\displaystyle \pm 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -4}$
Neutrino (masselos)	${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -3}$
Skalarteilchen	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -2}$
Graviton	${\displaystyle \pm 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle -6}$

• Spinor
• Minkowskiraum
• Projektive Geometrie
• Symmetrie
• Komplexe Zahlen
• Komplexe Konjugation

• R. Penrose, W. Rindler: Spinors and space-time. Volume 1: Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. In: Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, ISBN 0-521-33707-0.
• R. Penrose, W. Rindler: Spinors and space-time. Volume 2: Spinor and Twistor Methods in Space Time Geometry. In: Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, ISBN 0-521-34786-6.
• R. S. Ward, Raymond O. Wells Jr.: Twistor Geometry and Field Theory. Cambridge University Press, ISBN 0-521-26890-7.
• Maciej Dunajski: Solitons, instantons, and twistors. Oxford Univ. Press, Oxford 2010, ISBN 978-0-19-857062-2.

• Penrose über die Ursprünge der Twistor-Theorie (englisch)