Fluiddynamische Grenzschicht

Ausbildung einer laminaren Grenzschicht unter der blauen Linie an einer flachen Oberfläche (untere waagerechte Linie). Re_x=v₀x/ν ist hier bei jedem x kleiner als Re_krit=5·10⁵.

Betrachtet wird eine in ${\displaystyle x}$-Richtung überströmte, ebene Platte wie im Bild, wo die ${\displaystyle y}$-Richtung senkrecht zur Platte ist. Direkt am Körper haften die Fluidelemente am Körper (Haftbedingung: ${\displaystyle v_{x}(y=0)=0}$) und innerhalb der Grenzschicht gleicht sich ihre Geschwindigkeit an die Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}}$ der Hauptströmung an. Da die Geschwindigkeit allein aufgrund viskoser Reibung theoretisch nie die Umgebungsgeschwindigkeit der Strömung erreichen kann, wird die Dicke ${\displaystyle \delta }$ dieser „Geschwindigkeitsgrenzschicht“ mit dem Erreichen von 99 % der Umgebungsgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{0}}$ definiert:

${\displaystyle \delta \colon \quad v_{x}(y=\delta )=0{,}99\cdot v_{0}}$

Bei einer ebenen Platte wie im Bild nimmt die Grenzschichtdicke mit der Wurzel des Abstands zur Plattenvorderkante zu:

${\displaystyle \delta \simeq {\sqrt {\frac {\nu \cdot x}{v_{0}}}}\,.}$

Darin ist ${\displaystyle \nu }$ die kinematische Viskosität (Dimension L² T ⁻¹, Einheit m²/s) des Fluids.

Andere Maße für die Dicke der Grenzschicht sind

1. die Verdrängungsdicke δ^* oder δ₁, die angibt, wie weit die Hauptströmung durch die Grenzschicht von der Körperwand abgedrängt wird, und
2. die Impulsverlustdicke θ oder δ₂, die die Verringerung des Impulsstroms in der Grenzschicht aufgrund von Reibung wiedergibt.

Von der Wand bis zum Ende der Grenzschicht (${\displaystyle 0\leq y\leq \delta }$) entspricht das Geschwindigkeitsprofil näherungsweise einer quadratischen Funktion:

${\displaystyle v_{x}(y)\approx v_{0}\cdot \left[1-\left(1-{\frac {y}{\delta }}\right)^{2}\right]}$

In Strömungsrichtung nimmt die Dicke der fluiddynamischen Grenzschicht zu (blaue Kurve in der Abbildung). In Rohren oder Kanälen können die Grenzschichten von den Rändern her zusammenwachsen, womit die laminare Strömung voll ausgebildet und die Geschwindigkeit eine parabolische Funktion des Abstands von der Wand ist.

Mit der Grenzschichtdicke wird die in der Grenzschichtströmung wichtige Reynolds-Zahl

${\displaystyle Re_{\delta }:={\frac {v_{0}\delta }{\nu }}}$

gebildet. Die Reynolds-Zahl

${\displaystyle Re_{l}:={\frac {v_{0}l}{\nu }}}$

nimmt mit der Lauflänge ${\displaystyle l}$ der Strömung entlang der Wand zu und es ergibt sich:[2]

${\displaystyle {\frac {\delta }{l}}\simeq {\frac {1}{l}}{\sqrt {\frac {\nu l}{v_{0}}}}={\frac {1}{\sqrt {Re_{l}}}}\quad {\text{und}}\quad Re_{\delta }\simeq {\frac {v_{0}}{\nu }}{\sqrt {\frac {\nu l}{v_{0}}}}={\sqrt {Re_{l}}}\,.}$

Nach einer bestimmten Lauflänge entlang einer Platte wird die Grenzschicht instabil und schlägt in den turbulenten Zustand um, siehe unten. Das geschieht bei der kritischen Reynolds-Zahl[3]

${\displaystyle Re_{\text{krit}}=\left.{\frac {v_{0}l}{\nu }}\right|_{\text{krit}}=5\cdot 10^{5}\,.}$

Bei störungsarmer Anströmung kann die Reynolds-Zahl darüber liegen.

Durch die Viskosität überträgt das Fluid Impuls auf die Wand, was sich durch die Wandschubspannung τ_w bemerkbar macht. In Newton’schen Fluiden ist diese von der Größenordnung

${\displaystyle \tau _{w}=\eta \left.{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right|_{y=0}\simeq \eta {\frac {v_{0}}{\delta }}\simeq \eta {\frac {v_{0}}{\sqrt {\frac {\nu l}{v_{0}}}}}={\sqrt {\frac {\rho \eta v_{0}^{3}}{l}}}}$

Der Parameter η=ρ·ν ist die dynamische Viskosität (Dimension M L ^–1 T ⁻¹, Einheit Pa s). Wenn b die Breite und l die Länge einer beidseitig umströmten Platte ist, dann gilt für ihren Schubspannungswiderstand[2]

${\displaystyle W=2bl\tau _{w}\simeq b{\sqrt {\rho \eta v_{0}^{3}l}}\,.}$

Fluidelemente, die nicht zu nahe an der Wand entlang strömen, verbleiben in der Nähe der Wand für eine Zeit, die proportional zu ${\displaystyle l/v_{0}}$ ist. Damit gilt:

${\displaystyle \delta \simeq {\sqrt {\frac {\nu l}{v_{0}}}}\simeq {\sqrt {\nu t}}\,.}$

Diese Gleichung zeigt, dass die Grenzschichtdicke beim Beginn der Bewegung proportional zur Wurzel aus der Zeit ${\displaystyle t}$ zunimmt.[2]