Tunneleffekt

1897 beobachtete Robert Williams Wood den Effekt in einem Experiment bei der Feldemission von Elektronen im Vakuum, ohne ihn deuten zu können.

1926/1927 entdeckte Friedrich Hund den (später so genannten) Tunneleffekt bei isomeren Molekülen.[1][2]

1926 legten Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers und Léon Brillouin mit der nach ihnen benannten WKB-Methode den Grundstein für die quantenmechanische Erklärung von Tunnelprozessen. Mit dieser Methode konnten 1928 George Gamow bei seinem Aufenthalt bei Max Born in Göttingen sowie Ronald W. Gurney und Edward U. Condon den Alphazerfall erklären.[3] Gleichzeitig gelang Ralph Howard Fowler und Lothar Wolfgang Nordheim die Erklärung der Feldemission von Elektronen.

Der schwedische Physiker Oskar Klein gab 1929 eine verfeinerte Theorie der Durchtunnelung von Barrieren durch sehr schnelle Teilchen an (Klein-Paradox, englisch Klein tunneling). Voraussagen dieser Theorie konnten 2020 bestätigt werden.[4]

Schematische Darstellung des Tunneleffekts:
Ein Teilchen trifft von links kommend auf eine Potentialbarriere. Die Energie des getunnelten Teilchens bleibt gleich, nur die Amplitude der Wellenfunktion wird kleiner und somit die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen aufzufinden.

Die quantenmechanische Betrachtungsweise geht von der (nichtrelativistischen) Schrödingergleichung aus, einer Differentialgleichung für die Wellenfunktion ${\displaystyle \Psi }$, die den physikalischen Zustand des Teilchens beschreibt. Diese Wellenfunktion ist auch in Teilen des klassisch unzugänglichen Bereich, also innerhalb oder jenseits der Barriere, ungleich Null, und klingt dort mit zunehmender Eindringtiefe exponentiell ab. Auch am Ende des verbotenen Bereiches ist ihr Wert also nicht Null. Nach der Born-Regel ist das Betragsquadrat der Wellenfunktion ${\displaystyle \left|\Psi \right|^{2}}$ als Wahrscheinlichkeitsdichte für den Antreffort des Teilchens bei Messung seiner Position zu interpretieren. Diese Wahrscheinlichkeitsdichte ist also auch auf der anderen Seite der Barriere ungleich Null.

Wie viele Effekte der Quantentheorie spielt auch der Tunneleffekt nur bei extrem kurzen Distanzen sowie sehr kurzen Zeitabschnitten oder hohen Energien eine Rolle.

Die Namensgebung Tunneleffekt trägt dem Umstand Rechnung, dass die Teilchen die Barriere klassisch nicht überwinden können, und man sich den Effekt, wenn überhaupt, eher als eine Art „Durchtunnelung“ der Barriere vorstellen muss.

Zur mathematischen Beschreibung des Tunneleffekts betrachten wir das Potential

Diagramm zum Potential

${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&{\text{falls }}x\in D:=[-a,a]\\0&{\text{falls }}x\notin D\end{cases}}\quad }$

und unterteilen den Raum in die drei Bereiche (I) (links der Barriere), (II) (in der Barriere) und (III) (rechts der Barriere). Das von links (Bereich I) einfallende Teilchen hat die Energie E mit ${\displaystyle 0<E<V_{0}}$. Klassisch betrachtet würde ein von links einfallendes Teilchen an der Barriere ${\displaystyle x=-a}$ reflektiert.

Die stationäre Schrödingergleichung für die Wellenfunktion ${\displaystyle \Phi (x)}$ eines Teilchens der Masse ${\displaystyle m}$ und der Energie ${\displaystyle E}$ in diesem Potential lautet:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\,m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Phi (x)+V(x)\Phi (x)=E\Phi (x),}$

wobei ${\displaystyle \hbar }$ die reduzierte Planck-Konstante ist. Um die Gleichung zu lösen, wählen wir für die Wellenfunktion in den Bereichen (I) und (III) den Ansatz:

${\displaystyle \!\,\Phi (x)=A\,\mathrm {e} ^{ikx}+B\,\mathrm {e} ^{-ikx}}$

Dies ist eine Superposition einer von links nach rechts ${\displaystyle (\mathrm {e} ^{ikx})}$ und einer von rechts nach links ${\displaystyle (\mathrm {e} ^{-ikx})}$ laufenden ebenen Welle mit noch zu bestimmenden ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$. Der Wellenvektor ${\displaystyle k}$ ist durch

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2\,m}}}$

bestimmt.

Im Bereich (I) ist anschaulich klar, dass ${\displaystyle A=1}$ und ${\displaystyle B=R}$ sein muss. Dabei ist ${\displaystyle R}$ der komplexe Reflexionskoeffizient, welcher den Anteil der von links einlaufenden Welle beschreibt, der vom Potential reflektiert wird. Wird ${\displaystyle |R|^{2}=1}$, sind wir beim klassischen Grenzfall und das einlaufende Teilchen wird total reflektiert. Wir haben also

${\displaystyle \!\,\Phi _{\text{I}}(x)=\mathrm {e} ^{ikx}+R\,\mathrm {e} ^{-ikx}}$

Im Bereich (III) haben wir, da von rechts kein Teilchen kommt, nur einen eventuell durchgelassenen Teil der einfallenden Welle und setzen an:

${\displaystyle \!\,\Phi _{\text{III}}(x)=T\,\mathrm {e} ^{ikx}}$

Dabei ist ${\displaystyle T}$ der komplexwertige Transmissionskoeffizient. Da die Wahrscheinlichkeitsstromdichte erhalten bleiben muss, folgt aus der Kontinuitätsgleichung (ohne Beweis):

${\displaystyle \!\,|R|^{2}+|T|^{2}=1}$

Dies ist anschaulich klar, da das Teilchen nicht verschwinden kann.

Im Bereich (II) wählen wir den allgemeinen Ansatz

${\displaystyle \!\,\Phi _{\text{II}}(x)=\alpha \mathrm {\,} {e}^{\kappa x}+\beta \mathrm {e} ^{-\kappa x}}$

dabei ist ${\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {2\,m}{\hbar ^{2}}}\left(V_{0}-E\right)}}}$ und reell, da ${\displaystyle \!\,V_{0}-E>0}$ ist.

Damit sind die physikalischen Überlegungen abgeschlossen und es bleibt mathematische Handarbeit. Durch die Stetigkeitsbedingung der Wellenfunktion und deren Ableitung an den Stellen (x=-a) und (x=a) erhält man vier Gleichungen für die vier Unbekannten ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$. Die Lösungen gelten dann für alle Energien ${\displaystyle E}$ > 0 und man erhält zum Beispiel für den Transmissionskoeffizienten bei ${\displaystyle E<V_{0}}$:

${\displaystyle T(E)=\mathrm {e} ^{-2ika}{\frac {2\,k\kappa }{2\,k\kappa \cosh(2\,\kappa a)-i(k^{2}\,-\kappa ^{2})\sinh(2\,\kappa a)}}}$

Verlauf des Transmissionskoeffizienten ${\displaystyle |T|^{2}}$ in Abhängigkeit vom Verhältnis der Höhe ${\displaystyle V_{0}}$ der Potentialbarriere zur Energie ${\displaystyle E}$ des tunnelnden Teilchens. Die verschiedenfarbigen Kurven unterscheiden sich im Parameter ${\displaystyle k\cdot b}$. Dabei ist ${\displaystyle b=2a}$ die Breite der Barriere und ${\displaystyle k=\left|{\vec {k}}\right|={\sqrt {2mE}}/\hbar }$ der Betrag des Wellenvektors des freien Teilchens.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Transmission ist dann gerade das Betragsquadrat von ${\displaystyle T}$ und lautet:

${\displaystyle P_{T}(E)={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}}{4E\left(V_{0}-E\right)}}\sinh ^{2}(2\kappa a)}}}$

Der Funktionsverlauf ist in der nebenstehenden Grafik zu sehen. Man sieht, dass die Transmissionswahrscheinlichkeit auch für ${\displaystyle E<V_{0}}$ nicht null ist, dass also eine endliche Wahrscheinlichkeit besteht, das Teilchen auf der klassisch verbotenen Seite zu finden. Dies ist der Tunneleffekt. Interessant ist, dass die Transmissionswahrscheinlichkeit für ${\displaystyle E>V_{0}}$ nicht unbedingt 1 ist, d. h. das Teilchen auch reflektiert werden kann, wenn es klassisch immer über die Barriere käme.

Um die obige Formel noch etwas anschaulicher zu machen, betrachtet man beispielsweise den Grenzfall (${\displaystyle V_{0}\rightarrow 0}$). Hier geht die Transmissionswahrscheinlichkeit gegen 1, was auch anschaulich klar ist: keine Barriere, keine Reflexion.

Obige Gleichungen geben keine Auskunft, wie lange das Teilchen braucht, um von einem Ende des Tunnels zum anderen zu gelangen. Die Schätzungen für Elektronen lagen zwischen Null und etwa 500·10⁻¹⁸ Sekunden. Aktuelle Experimente an der ETH Zürich[11] (2008) haben einen Zeitbedarf von maximal 34·10⁻¹⁸ s ergeben, das ist die Messgenauigkeit der Anordnung. Im Experiment wurde ein zirkular polarisierter Laserpuls von nur 5·10⁻¹⁵ s Dauer (während dieser Zeit rotiert der elektrische Feldvektor einmal um 360°) auf ein Elektron geschossen, das „hinter“ einem Potentialwall von 24,6 eV an ein Heliumatom gebunden war. Die Durchtrittswahrscheinlichkeit des Elektrons ist bei dieser Wallhöhe so gering, dass keine spontane Ionisation des He-Atoms beobachtet wird.

Durch den kurzen Laserpuls verringerte sich die Höhe des Potentialwalls für eine definierte Zeit so weit, dass eines der beiden Elektronen das Atom verlassen konnte. Dann wurde es vom elektrischen Feld des Lichtpulses beschleunigt und vom He⁺-Ion entfernt. Aus der Abflugrichtung konnte der Zeitverlauf berechnet werden. Nach Ansicht der Forscher ist das Elektron unmittelbar nach seinem „Verschwinden“ auf der Innenseite des Potentialwalls wieder außen aufgetaucht. Bei dem Versuch handelte es sich nicht um eine Photoionisation, weil dazu eine Photonenenergie im UV-Bereich notwendig gewesen wäre. Der verwendete Femtosekundenlaser hat zwar keine exakt definierbare Wellenlänge, der Schwerpunkt seines breitbandigen Bereiches liegt jedoch eindeutig im IR-Bereich. Hier reicht die Photonenenergie nicht aus, um Helium zu ionisieren.

• Evaneszenz
• Franz-Keldysh-Effekt
• Holstein-Herring Methode
• Rastertunnelmikroskop
• Superluminares Tunneln
• Zener-Effekt

• Robert Williams Wood: A new form of Cathode Discharge and the Production of X-Rays, together with some Notes on Diffraction. In: Phys. Rev. 5, 1, 1897, S. 1–10.
• Julius Elster, Hans Friedrich Geitel: Über den Einfluß eines magnetischen Feldes auf die durch Becquerelstrahlen bewirkte Leitfähigkeit der Luft. In: Verh. Dtsch. Ges. 1, 1899, S. 136–138.
• Ernest Rutherford, Frederick Soddy: The Radioactivity of Thorium Compounds. II. The cause and nature of radioactivity. In: J. Chem. Soc. 81, 321, 1902, S. 837–860.
• Ernest Rutherford, Thomas Royds: The Nature of the Alpha Particle from Radioactive Substances. In: Philosophical Magazine. 6, 17, 1909, S. 281–286.
• Hendrik Anthony Kramers: Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung. In: Z. Phys. 39, 1926, S. 828–840.
• Ralph Howard Fowler, Lothar Wolfgang Nordheim: Electron Emission in Intense Electric Fields. In: Proc. Roy. Soc. Lond. A119, 781, 1928, S. 173–181.
• George Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkernes. In: Z. Phys. 51, 3, 1928, S. 204–212.
• Ronald W. Gurney, Edward U. Condon: Wave Mechanics and Radioactive Disintegration. In: Nature. 122, 1928, S. 439.
• Hans Bethe, Arnold Sommerfeld: Handbuch der Physik von Geiger und Scheel. Band 24/2, Julius-Springer-Verlag, Berlin 1933, S. 450.
• R. Holm, B. Kirschstein: Über den Widerstand dünnster Fremdschichten in Metallkontakten. In: Z. Tech. Physik. 16, 1935, S. 488.
• R. Holm: The Electric Tunnel Effect across Thin Insulator Films in Contact. In: J. Appl. Phys. 22, 1951, S. 569–574.
• J. Simmons: Generalized Formula for the Electric Tunnel Effect between Similar Electrodes Separated by a Thin Insulating Film. In: J. Appl. Physics. 34, 1963, S. 1793.
• Erwin Wilhelm Müller: Versuche zur Theorie der Elektronenemission unter der Einwirkung hoher Feldstärke. In: Phys. Z. 37, 1936, S. 838–842.
• Erwin Wilhelm Müller: Das Feldionenmikroskop. In: Z. Phys. 131, 1951, S. 136.
• Leo Esaki: New Phenomenon in Narrow Germanium p-n Junctions. In: Phys. Rev. 109, 1958, S. 603–604.
• J. C. Fisher, Ivar Giaever: Tunneling Through Thin Insulating Layers. In: J. Appl. Phys. 32, 1961, S. 172–177.
• Brian D. Josephson: Possible New Effects in Superconducting Tunneling. In: Phys. Lett. 1, 1962, S. 251–253.
• Philip Warren Anderson, J. M. Rowell, D. E. Thomas: Image of the Phonon Spectroscopy in the Tunneling Characteristic between Superconductors. In: Phys. Rev. Lett. 10, 1963, S. 334–336.
• Sidney Shapiro: Josephson Current in Superconducting Tunneling: The Effect of Microwaves and other Observations. In: Phys. Rev. Lett. 11, 1963, S. 80–82.
• Gerd Binnig, Heinrich Rohrer: Gerät zur rasterartigen Oberflächenuntersuchung unter Ausnutzung des Vakuum-Tunneleffekts bei kryogenischen Temperaturen. Europäische Patentanmeldung 0 027 517, Priorität: 20. September 1979 CH 8486 79
• Gerd Binnig, Heinrich Rohrer, C. Gerber, E. Weibel: Tunneling through a Controllable Vacuum Gap. In: Appl. Phys. Lett. 40, 1982, S. 178–180.
• Dilip K. Roy: Quantum mechanical tunnelling and its applications. World Scientific, Singapore 1986, ISBN 9971-5-0024-8.
• Markus Bautsch: Rastertunnelmikroskopische Untersuchungen an mit Argon zerstäubten Metallen. Kapitel 2.1 Vakuumtunneln. Verlag Köster, Berlin 1993, ISBN 3-929937-42-5.
• Shin Takagi: Macroscopic quantum tunneling. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-80002-1.
• Joachim Ankerhold: Quantum tunneling in complex systems - the semiclassical approach. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-68074-1.

• Physik-Nobelpreisträger Gerd Binnig erklärt den Tunneleffekt auf anschauliche Weise vom 18. August 2010
• Quantentheorie – Wie ein Blitz durch den Tunnel FAZ
• Interaktive Simulation (Java Webstart Programm)
• BR-alpha Centauri: Tunneleffekt mit Professor Lesch (Video)

1. Friedrich Hund, der Tunneleffekt und das Leuchten der Sterne. auf Deutschlandfunk, gesendet am 4. Februar 2016.
2. Hund: Zur Deutung der Molekelspektren III, Zeitschrift für Physik, Band 43, 1927, S. 805–826. Hund verwendete für Moleküle meist die Bezeichnung Molekel. Zu Hunds Entdeckung des Tunneleffekts: Rechenberg, Mehra: The historical development of quantum theory, Band 6, Teil 1, S. 535.
3. George Gamow: Zur Quantentheorie des Atomkernes. In: Zeitschrift für Physik. 51, 1928, S. 204.
4. Xue Jiang et al.: Direct observation of Klein tunneling in phononic crystals, in: Science Band 370, Nr. 6523, S. 1447–1450, 18. Dezember 2020, doi:10.1126/science.abe2011. Siehe dazu:
   • Perfect transmission through barrier using sound, auf: EurekAlert! vom 23. Dezember 2020
5. G. Wolschin: Thermonuclear Processes in Stars and Stellar Neutrinos. In: L. Castell, O. Ischebeck (Hrsg.): Time, Quantum and Information. Part II, Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 2003, S. 115–134.
6. F. Trixler: Quantum Tunnelling to the Origin and Evolution of Life. In: Current Organic Chemistry. Band 17, Nr. 16, August 2013, S. 1758–1770, doi:10.2174/13852728113179990083, PMC 3768233 (freier Volltext).
7. Jan Meisner, Johannes Kästner: Der Tunneleffekt von Atomen in der Chemie. In: Angewandte Chemie. Band 128, 2016, S. 5488–5502, doi:10.1002/ange.201511028.
8. Nadja Podbregar: Wasserstoff beim Quantentunneln erwischt. 6. März 2023, abgerufen am 14. März 2023 (deutsch).
9. Robert Wild, Markus Nötzold, Malcolm Simpson, Thuy Dung Tran, Roland Wester: Tunnelling measured in a very slow ion–molecule reaction. In: Nature. 1. März 2023, ISSN 1476-4687, S. 1–5, doi:10.1038/s41586-023-05727-z (nature.com [abgerufen am 2. März 2023]).
10. Per-Olov Löwdin: Proton Tunneling in DNA and its Biological Implications. In: Reviews of Modern Physics. Band 35, Nr. 3, 1963, S. 724–732, doi:10.1103/RevModPhys.35.724.
11. Petrissa Eckle, Mathias Smolarski, Philip Schlup, Jens Biegert, Andre Staudte, Markus Schoffler, Harm G. Muller, Reinhard Dorner, Ursula Keller: Attosecond angular streaking. In: Nat Phys. Band 4, Nr. 7, Juni 2008, S. 565–570, doi:10.1038/nphys982.