Zykloide

Die Länge der gewöhnliche Zykloide mit der Parameterdarstellung ${\displaystyle x(t)=r(t-\sin(t)),\quad y(t)=r(1-\cos(t))}$ im Intervall ${\displaystyle [a,b]}$ kann mit dem Integral ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$ berechnet werden. Mit den Ableitungen ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=r(1-\cos(t))}$ und ${\displaystyle {\dot {y}}(t)=r\sin(t)}$ ergibt sich

${\displaystyle L=\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {(r(1-\cos(t)))^{2}+(r\sin(t))^{2}}}\,\mathrm {d} t=8r}$

Tautochronie der Zykloide

Vorausgesetzt, dass Luftwiderstand und Reibung zu vernachlässigen sind, gelangt ein frei beweglicher Massenpunkt von jedem Startpunkt auf einer umgedrehten Zykloide stets in derselben Zeit an den tiefsten Punkt.[3] Diese Eigenschaft wird auch Tautochronie genannt (Linie gleicher Fallzeit; altgriechisch ταὐτό tauto dasselbe, χρόνος chronos Zeit).

Zykloidenpendel

Im 17. Jahrhundert zeigte Christiaan Huygens, dass beim Zykloidenpendel – ein Fadenpendel, bei dem sich der Faden an einer (passenden) Zykloide abrollt – die Schwingungsdauer unabhängig von der Auslenkung ist.[4][5]

Die Anzahl der Spitzen der Epizykloiden während einer Periode ist identisch mit der ganzen Zahl ${\displaystyle i_{R}}$.

• Spezielle Hypo- und Epizykloiden
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  Hypozykloide q=2/1 (Cardanische Kreise)
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  Hypozykloide q=3/1 (Deltoide)
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  Hypozykloide q=4/1 (Astroide)
• 
  Epizykloide q=1/1 (Herzkurve)

Für ganzzahlige Längenverhältnisse ${\displaystyle q}$ ergeben sich spezielle Epizykloiden oder Hypozykloiden:

• Für ${\displaystyle q=1}$ ergibt sich die sogenannte Herzkurve (Kardioide), eine Epizykloide.
• Für ${\displaystyle q=2}$ (Cardanische Kreise) ergibt sich eine geradlinige Hypozykloide, deren sämtliche Punkte auf einem Durchmesser liegen.
• Für ${\displaystyle q=3}$ ergibt sich eine Deltoide (Hypozykloide mit 3 Spitzen)
• Für ${\displaystyle q=4}$ ergibt sich eine Astroide: das Karo, wie man es von Spielkarten kennt.

Die Anzahl an Umläufen des sich bewegenden „Rades“ während einer Periode ist ${\displaystyle i_{r}}$. In den Bildern wird für jeden Teil der Zykloide, der während eines Umlaufs des bewegten „Rades“ entsteht, eine andere Farbe verwendet.

• Anzahl Umläufe und Anzahl Schnittpunkte bei Zykloiden
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  Hypozykloide q=5/1
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  Hypozykloide q=5/3
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  Hypozykloide q=5/2
• 
  Hypozykloide q=5/4

Die Anzahl der Schnittpunkte s₀ von Epizykloiden ist gleich ${\displaystyle i_{R}\cdot (i_{r}-1)}$ [6].

• Diese Gleichung gilt auch für Hypozykloiden mit ${\displaystyle q\geq 2}$, also wenn der Durchmesser des umlaufenden Kreises kleiner gleich dem Radius des feststehenden Kreises ist.

Für Perizykloiden und für Hypozykloiden mit ${\displaystyle p\leq 2}$ gilt ${\displaystyle s_{0}=i_{R}\cdot (i_{R}-i_{r}-1)}$.

Neben den gewöhnlichen, nämlich den gespitzten Zykloiden gibt es die verlängerten und somit verschlungenen sowie die verkürzten und somit gestreckten Epizykloiden, Perizykloiden und Hypozykloiden, die häufig auch Epitrochoiden, Peritrochoiden und Hypotrochoiden genannt werden.

• gestreckte, gespitzte und verschlungene Hypotrochoiden
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  gestreckte Hypotrochoide q=3/1
• 
  gespitzte Hypozykloide q=3/1
• 
  verschlungene Hypotrochoide q=3/1
• 
  verschlungene Hypotrochoide q=3/2
• 
  gespitzte Hypozykloide q=3/2
• 
  gestreckte Hypotrochoide q=3/2

Alle gestreckten Epitrochoiden, Peritrochoiden und Hypotrochoiden weisen die gleiche Anzahl an Schnittpunkten auf wie die gespitzten, also ${\displaystyle s_{0}}$.

Die gestreckten Trochoiden lassen sich unterscheiden in Trochoiden mit Wendepunkten und ohne.

Der Krümmungsmittelpunkt von Trochoiden mit Wendepunkten wechselt in jedem Wendepunkt von einer Seite der Kurve auf die andere. Somit weisen diese Trochoiden Links- und Rechtskurven auf. Die Anzahl der Links- wie auch der Rechtskurven ist ${\displaystyle i_{R}}$ und damit gleich der Anzahl der Spitzen. Die Anzahl der Wendepunkte ist somit ${\displaystyle 2\cdot i_{R}}$. Punkte, die gestreckte Trochoiden mit Wendepunkten erzeugen, liegen in der Nähe des Randes des umlaufenden „Rades“.

Punkte, die gestreckte Trochoiden ohne Wendepunkte erzeugen, liegen weiter entfernt vom Rand des umlaufenden „Rades“.

Getrennt werden beide Bereiche durch den Sonderfall, dass die gestreckten Trochoiden eine genäherte Gerade durchlaufen. Dies ist der Fall, wenn der erzeugende Punkt auf der Ballschen Kurve liegt und somit folgenden Abstand ${\displaystyle d_{r}}$ zum Mittelpunkt des umlaufenden Rades aufweist: ${\displaystyle d_{r}=r_{r}/(1+i_{R}/i_{r})}$. Die Anzahl der genäherten Geraden ist gleich ${\displaystyle i_{R}}$ und damit gleich der Anzahl an Spitzen

• gespitzte und gestreckte Hypotrochoiden
• 
  gespitzte Hypozykloide
• 
  gestreckte Hypotrochoide mit Wendepunkten
• 
  Gestreckte Hypotrochoide mit genäherten Geraden
• 
  gestreckte Hypotrochoide ohne Wendepunkte

Die Anzahl an Schleifen während einer Periode ist identisch mit der Zahl ${\displaystyle i_{R}}$ und somit identisch mit der Anzahl an Spitzen der Zykloide.

Verschlungene Trochoiden weisen mindestens ${\displaystyle i_{R}}$ Schnittpunkte mehr als die (gespitzte) Zykloide auf. Die genaue Anzahl an Schnittpunkten lässt sich nur ermitteln mit Hilfe von Übergangskurvenpunkten. Ein Übergangskurvenpunkt erzeugt eine Trochoide mit Berührungspunkten. Die Anzahl an Übergangskurvenpunkten und somit an Trochoiden mit Berührungspunkten ist gleich dem Integerwert von ${\displaystyle {\tfrac {i_{R}}{2}}}$. Somit treten keine Berührungspunkte auf, wenn ${\displaystyle i_{R}}$ gleich 1 ist.

Leider lassen sich Übergangskurvenpunkte nicht analytisch berechnen. Die Ermittlung mit Hilfe von Näherungsverfahren ist nicht kompliziert, würde aber den Rahmen dieses Artikels sprengen. Daher sollen hier nur die Phänomene zur Erzeugung der Formenvielfalt der verschlungenen Trochoiden erläutert werden. Die Formen und deren Vielfalt ist so faszinierend, dass diese Faszination von einem speziellen Spielzeug genutzt wird, nämlich dem Spirograph. Mit einem Spirograph können manuell verschiedene blumig anmutende verschlungene Hypotrochoiden mit Hilfe eines Zeichenstiftes erzeugt werden. Der Stift wird durch ein Loch eines in einem Hohlrad umlaufen Zahnrades gesteckt und so lange über ein Papier geführt, bis sich eine geschlossene Kurve ergibt.

Dass durch geringe Variation des Abstandes des Loches zum Mittelpunkt des umlaufenden „Rades“ immer wieder anders anmutende Hypotrochoiden entstehen, lässt sich anhand der Sonderfälle erläutern, bei denen Trochoiden mit Berührungspunkten entstehen.

• verschlungene Hypotrochoiden mit i=5/1
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  gespitzte Hypozykloide
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  Verschlungene Hypotrochoide mit 5 Schnittpunkten
• 
  Verschlungene Hypotrochoide mit 5 Berührungspunkten
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  Verschlungene Hypotrochoide mit 15 Schnittpunkten
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  Verschlungene Hypotrochoide mit 10fach-Schnittpunkt und 5 Schnittpunkten
• 
  Verschlungene Hypotrochoide mit 15 Schnittpunkten

Verschlungene Trochoiden mit der Mindestanzahl an Schnittpunkten werden durch Punkte erzeugt, die in der Nähe des Außenrandes des umlaufenden Rades liegen. Die Anzahl der Schnittpunkte ist gleich der Anzahl an Spitzen plus ${\displaystyle i_{R}}$.

Der Integerwert von ${\displaystyle {\tfrac {i_{R}}{2}}}$ ergibt die Anzahl ${\displaystyle n_{b}}$ an Trochoiden mit Berührungspunkten. Ist ${\displaystyle n_{b}}$ größer null, so wird irgendwann einmal eine verschlungene Trochoide mit Berührungspunkten erzeugt, wenn der erzeugende Punkt vom Kreisumfang weg verschoben wird. Die Trochoide mit Berührungspunkten selbst weist noch eine unveränderte Anzahl an Selbstschnittpunkten auf. Aber wenn der erzeugende Punkt noch weiter weg verschoben wird, entsteht eine Trochoide ohne Berührungspunkt, deren Anzahl an Schnittpunkten sich um ${\displaystyle 2\cdot i_{R}}$ erhöht hat. Erzeugt das zugrunde liegende „Räderpaar“ mehr als eine Trochoide mit Berührungspunkten, wiederholt sich das gleiche (mehrmals), wenn der erzeugende Punkt weiter vom Kreisumfang entfernt wird und dadurch wieder zu einer Stelle gelangt, in der eine Trochoide mit Berührungspunkten erzeugt wird.

• Alle Punkte, die Trochoiden mit Berührungspunkten erzeugen, liegen zwischen dem Außenrand des umlaufenden „Rades“ und einem konzentrischen Kreis durch den Mittelpunkt des stehenden Rades. Wird der erzeugende Punkt weiter weg vom Rand des umlaufenden Rades über den Mittelpunkt des stehenden Rades hinweg verschoben, ändert sich an der Anzahl der Schnittpunkte nichts mehr und es treten auch keine weiteren Sonderfälle auf.

Punkte, die vom Mittelpunkt des umlaufenden „Rades“ weiter entfernt sind als der Abstand der Mittelpunkte beider „Räder“, erzeugenden Trochoiden mit der maximalen Anzahl an Schnittpunkten ${\displaystyle n_{\text{max}}}$.

• Wenn ${\displaystyle i_{R}}$ eine gerade Zahl ist, ist die maximale Anzahl an Schnittpunkten ${\displaystyle n_{\text{max}}=n_{s0}+2\cdot n_{b}\cdot i_{R}}$
• In allen anderen Fällen, nämlich wenn ${\displaystyle i_{R}}$ eine ungerade Zahl ist, gilt: ${\displaystyle n_{\text{max}}=n_{s0}+(1+2\cdot n_{b})\cdot i_{R}}$

Eine Trochoide, die durch den Mittelpunkt des feststehenden „Rades“ verläuft und mehr als einen Schnittpunkt aufweist, stellt immer einen Sonderfall dar:

• Ist ${\displaystyle i_{R}}$ eine gerade Zahl, dann weist diese verschlungene Trochoide mindestens einen Berührungspunkt auf. Gibt es mehrere Berührungspunkte, so liegen Berührungs- und Selbstschnittpunkte übereinander
• Ist ${\displaystyle i_{R}}$ eine ungerade Zahl, dann liegen mehrere Schnittpunkte der verschlungenen Trochoide übereinander.

• Einen Spezialfall stellen (gespitzte) Hypozykloiden mit ${\displaystyle q=2}$ dar, bei denen also der Durchmesser des umlaufenden Rades gleich dem Radius des stehenden „Rades“ ist. Diese Zykloide ist eine zweifach durchlaufene Gerade und weist gleichzeitig 2 Spitzen und Berührungspunkte auf. Alle nicht gespitzten Trochoiden sind Ellipsen und das zweite erzeugende Getriebe ist eine Hypotrochoide mit gleichem Übersetzungsverhältnis.

• Hypotrochoide i=2/1
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  Hypotrochoide: Ellipse
• 
  Hypotrochoide: Gerade
• 
  Hypotrochoide: Ellipse

• Für ${\displaystyle q=2}$ einer Epitrochoide ergibt sich aus einem speziellen Punkt im Innern des rollenden Kreises die Hüllkurve im Gehäuse des Wankelmotors.