Triviale Gruppe

Eine Gruppe ${\displaystyle (G,*)}$ ist trivial, wenn ${\displaystyle G}$ eine einelementige Menge ${\displaystyle G=\{e\}}$ ist.

Die Verknüpfung ${\displaystyle *:G\times G\to G}$ ist notwendigerweise durch

${\displaystyle e*e=e}$

gegeben und ${\displaystyle e}$ ist das neutrale Element der Gruppe.

Beispiele für triviale Gruppen sind:

• die triviale Gruppe der Addition ${\displaystyle (\{0\},+)}$,
• die triviale Gruppe der Multiplikation ${\displaystyle (\{1\},\cdot )}$,
• die triviale Gruppe der Komposition von Abbildungen ${\displaystyle (\{\mathrm {id} \},\circ )}$, wobei ${\displaystyle \mathrm {id} :S\to S}$ die Identitätsabbildung auf einer beliebigen Menge ${\displaystyle S}$ ist,
• die zyklische Gruppe ${\displaystyle C_{1}}$ von Ordnung ${\displaystyle 1}$,
• die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{1}}$ der Permutationen von ${\displaystyle \{1\}}$,
• die alternierende Gruppe ${\displaystyle A_{2}}$ der geraden Permutationen von ${\displaystyle \{1,2\}}$.

• Alle trivialen Gruppen sind zueinander isomorph.
• Da die Gruppenoperation ${\displaystyle \ast }$ kommutativ ist, ist die triviale Gruppe eine abelsche Gruppe.
• Die einzige Untergruppe der trivialen Gruppe ist die triviale Gruppe selbst.
• Die triviale Gruppe wird von der leeren Menge erzeugt: ${\displaystyle \{e\}=\langle \emptyset \rangle }$. Hierbei ergibt das leere Produkt nach üblicher Konvention das neutrale Element.
• Jede Gruppe enthält die triviale Gruppe und sich selbst als (triviale) Normalteiler. Die triviale Gruppe wird daher meistens nicht als einfache Gruppe angesehen.
• Für jede beliebige Gruppe ${\displaystyle H}$ gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle H\to \{e\}}$ und genau einen Gruppenhomomorphismus ${\displaystyle \{e\}\to H}$. Das heißt, dass in der Kategorie der Gruppen Grp die triviale Gruppe ein Nullobjekt ist.

• Nullring
• Nullvektorraum

• Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. Springer, 2008, ISBN 978-3-540-79570-4.
• Jürgen Wolfart: Einführung in die Zahlentheorie und Algebra. Springer, 2010, ISBN 978-3-8348-9833-3.

• Todd Rowland, Eric W. Weisstein: Trivial Group. In: MathWorld (englisch).