Relativierung (Mengenlehre)

Wir betrachten in diesem Kapitel die Mengenlehre in der Sprache der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (kurz ZF), diese besteht aus ${\displaystyle \in }$ für die Elementbeziehung, der Gleichheit ${\displaystyle =}$ von Mengen und den üblichen logischen Symbolen ${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow ,\leftrightarrow ,\exists ,\forall }$ sowie Variablen ${\displaystyle x,y,z,\ldots }$ für Mengen. Die daraus korrekt gebildeten Formeln bzw. Aussagen sind Untersuchungsgegenstand der Mengenlehre. Alle anderen Symbole der Mengenlehre sind darauf aufbauend definierbar, so zum Beispiel die Teilmengenbeziehung

${\displaystyle x\subset y\,:\Leftrightarrow \,\forall z\,(z\in x\rightarrow z\in y)}$

Ferner sei ein Prädikat ${\displaystyle P}$ gegeben, das heißt eine mengentheoretische Aussage mit einer freien Variablen. Ist ${\displaystyle x}$ eine Menge, so kann man diese an die Stelle der freien Variablen setzen, und wir schreiben einfach ${\displaystyle Px}$, wenn daraus eine auf ${\displaystyle x}$ zutreffende Aussage entsteht. Ein einfaches und zugleich wichtiges Beispiel ist das Prädikat ${\displaystyle z\in W}$, wobei ${\displaystyle W}$ eine gegebene Klasse oder Menge und ${\displaystyle z}$ die freie Variable ist. In diesem Fall bedeutet ${\displaystyle Px}$ einfach, dass ${\displaystyle x}$ ein Element von ${\displaystyle W}$ ist.

Wir wollen nun mengentheoretische Formeln ${\displaystyle \varphi }$ bzgl. ${\displaystyle P}$ relativieren, das heißt auf alle ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle Px}$ einschränken, indem wir zu einer Formel ${\displaystyle [\varphi ]^{P}}$ übergehen, die genau diese Einschränkung vornimmt und die ${\displaystyle P}$-Relativierung von ${\displaystyle \varphi }$ heißt. Wir definieren ${\displaystyle [\varphi ]^{P}}$ wie folgt über den Aufbau der Formel ${\displaystyle \varphi }$ aus oben genannten Symbolen[1]:

${\displaystyle [x\in y]^{P}\,:=\,x\in y}$

${\displaystyle [x=y]^{P}\,:=\,x=y}$

${\displaystyle [\neg \varphi ]^{P}\,:=\,\neg [\varphi ]^{P}}$

${\displaystyle [\varphi \land \psi ]^{P}\,:=\,[\varphi ]^{P}\land [\psi ]^{P}}$

${\displaystyle [\varphi \lor \psi ]^{P}\,:=\,[\varphi ]^{P}\lor [\psi ]^{P}}$

${\displaystyle [\varphi \rightarrow \psi ]^{P}\,:=\,[\varphi ]^{P}\rightarrow [\psi ]^{P}}$

${\displaystyle [\varphi \leftrightarrow \psi ]^{P}\,:=\,[\varphi ]^{P}\leftrightarrow [\psi ]^{P}}$

${\displaystyle [\forall x\,\varphi ]^{P}\,:=\,\forall x(Px\rightarrow [\varphi ]^{P})}$

${\displaystyle [\exists x\,\varphi ]^{P}\,:=\,\exists x(Px\land [\varphi ]^{P})}$

Dabei sind ${\displaystyle \varphi }$ und ${\displaystyle \psi }$ mengentheoretische Formeln, die auch Parameter, das heißt weitere freie Variablen, enthalten dürfen. So sind die letzten beiden Definitionen nur für solche ${\displaystyle \varphi }$ sinnvoll, die ${\displaystyle x}$ als freie Variable enthalten (sollte ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \varphi }$ auch als gebundene Variable auftreten, so ist diese entsprechend umzubenennen, diese übliche Vereinbarung wird hier stillschweigend angenommen). Wie obige Definition zeigt, sind nur die Quantoren ${\displaystyle \forall }$ und ${\displaystyle \exists }$ von der ${\displaystyle P}$-Relativierung betroffen, was der intuitiven Vorstellung einer Einschränkung auf ${\displaystyle P}$ entgegenkommt.

Als Prädikat ${\displaystyle P}$ nehmen wir ${\displaystyle x\in W}$, also die Zugehörigkeit zu einer Klasse ${\displaystyle W}$. Wir wollen die ${\displaystyle P}$-Relativierung auf die Formel

${\displaystyle \varphi \,=\,\forall y(y\not =z\rightarrow \exists x(x\in y))}$

anwenden. Dies ist übrigens eine im ZF-Mengenuniversum wahre Aussage, wenn man für den Parameter ${\displaystyle z}$ die leere Menge nimmt, denn es wird dann ausgesagt, dass jede von der leeren Menge verschiedene Menge ein Element enthält, aber das spielt für die folgende Relativierung keine Rolle. Das ${\displaystyle y\not =z}$ ist natürlich als ${\displaystyle \neg y=z}$ zu übersetzen. Als erstes müssen wir die Regel für den Allquantor anwenden und erhalten

${\displaystyle \varphi ^{P}\,=\,\forall y(y\in W\rightarrow (\neg y=z\rightarrow \exists x(x\in y))^{P})}$

Auf den noch zu relativierenden Teil der Formel wird nun die Regel für ${\displaystyle \rightarrow }$ angewendet:

${\displaystyle \varphi ^{P}\,=\,\forall y(y\in W\rightarrow ((\neg y=z)^{P}\rightarrow (\exists x(x\in y))^{P}))}$

Nun haben wir noch zwei zu relativierende Formelteile. Der linke Teil bereitet wegen der ${\displaystyle \neg }$-Regel keine Schwierigkeiten, der rechte Teil enthält wieder einen Quantor und ist entsprechend zu behandeln:

${\displaystyle \varphi ^{P}\,=\,\forall y(y\in W\rightarrow (\neg y=z\rightarrow \exists x(x\in W\land (x\in y)^{P})))}$

und in einem letzten Schritt erhalten wir

${\displaystyle \varphi ^{P}\,=\,\forall y(y\in W\rightarrow (\neg y=z\rightarrow \exists x(x\in W\land x\in y)))}$

Abhängig von ${\displaystyle W}$ muss diese Aussage nicht mehr wahr sein, selbst wenn man ${\displaystyle z=\emptyset }$ wählt, denn die relativierte Aussage behauptet, dass jedes von ${\displaystyle z}$ verschiedene Element aus ${\displaystyle W}$ ein Element aus ${\displaystyle W}$ enthält, und das hängt natürlich von ${\displaystyle W}$ ab.

Um auch Formeln relativieren zu können, die neben den oben genannten Symbolen auch sogenannte definierte Symbole wie Teilmenge ${\displaystyle \subset }$, kartesisches Produkt ${\displaystyle \times }$, Durchschnitt ${\displaystyle \cap }$ und so weiter enthalten, muss man zunächst die Rückübersetzung in die Symbole der oben festgelegten Sprache vornehmen und dann relativieren. Dadurch lässt sich der Begriff ${\displaystyle P}$-Relativierung auch auf solche Formeln ausdehnen, zum Beispiel

${\displaystyle {\begin{aligned}[][x\subset y]^{P}&=[\forall (z\in x\rightarrow z\in y)]^{P}\\&=\forall z(Pz\rightarrow (z\in x\rightarrow z\in y))\\&=\forall z((Pz\land z\in x)\rightarrow z\in y),\end{aligned}}}$

wobei die letzte Gleichheit eine rein logische Umformung ist. Auch dieses Beispiel zeigt, dass sich Aussagen, wie hier eine Teilmengenbeziehung, bei Relativierungen durchaus ändern können. Ein weiteres Beispiel ist

${\displaystyle {\begin{aligned}[][x=\emptyset ]^{P}&=[\forall z(\neg z\in x))]^{P}\\&=\forall z(Pz\rightarrow (\neg z\in x))\\\end{aligned}}}$

Ist zum Beispiel ${\displaystyle W=\{\emptyset ,\{\{\emptyset \}\}\}}$, ${\displaystyle P}$ das Prädikat ${\displaystyle x\in W}$ und setzt man ${\displaystyle z=\{\{\emptyset \}\}}$, so sind die Aussagen ${\displaystyle z\subset \emptyset }$ und ${\displaystyle z=\emptyset }$ im ZF-Mengenuniversum falsch, die ${\displaystyle P}$-Relativierungen hingegen sind wahr, denn ${\displaystyle z}$ enthält keine Elemente, auf die das Prädikat ${\displaystyle P}$ zutrifft.

Wir haben gesehen, dass sich der Wahrheitswert einer Aussage durchaus ändern kann, wenn man zu einer ${\displaystyle P}$-Relativierung übergeht. Aussagen, bei denen das nicht der Fall ist, heißen ${\displaystyle P}$-absolut. Ist ${\displaystyle \varphi }$ eine Aussage mit Parametern ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ (und keinen weiteren), so sagt man[2]

${\displaystyle \varphi =\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ist ${\displaystyle P}$-absolut, falls

${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:(Px_{1}\land \ldots \land Px_{n}\rightarrow (\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})^{P}\leftrightarrow \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})))}$

das heißt, der Wahrheitswert der Aussage ${\displaystyle \varphi =\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ bleibt bei ${\displaystyle P}$-Relativierung für alle Parameter ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$, die dem Prädikat ${\displaystyle P}$ genügen, erhalten. Entsprechend heißt ein Satz, das heißt eine Aussage ${\displaystyle \varphi }$ ohne Parameter, ${\displaystyle P}$-absolut, wenn ${\displaystyle [\varphi ]^{P}\leftrightarrow \varphi }$.

Für „${\displaystyle \varphi }$ ist ${\displaystyle P}$-absolut“ sagt man auch „${\displaystyle P}$ spiegelt ${\displaystyle \varphi }$“. Ein wichtiger Satz ist das sogenannte Reflexionsprinzip, nach dem jede Aussage bereits durch eine Stufe ${\displaystyle V_{\alpha }}$ der Von-Neumann-Hierarchie gespiegelt wird, wobei hier natürlich das Prädikat „${\displaystyle z\in V_{\alpha }}$“ gemeint ist.

Eine Formel heißt aufwärts absolut für eine Menge ${\displaystyle P}$, falls

${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:(Px_{1}\land \ldots \land Px_{n}\rightarrow (\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})^{P}\rightarrow \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})))}$

und abwärts absolut, falls die umgekehrte Implikation

${\displaystyle \forall x_{1},\ldots ,x_{n}:(Px_{1}\land \ldots \land Px_{n}\rightarrow (\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})\rightarrow \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})^{P}))}$

gilt. Offenbar ist eine Formel genau dann absolut für eine Menge, wenn sie zugleich aufwärts und abwärts absolut ist.

Eine Klasse ${\displaystyle P}$ heißt transitiv, falls für alle ${\displaystyle x\in y\in P}$ auch ${\displaystyle x\in P}$. Die Stufen der Von-Neumann-Hierarchie sind Beispiele transitiver Mengen. Für transitive Klassen ${\displaystyle P}$ lassen sich weitere Absolutheitsaussgen beweisen. Die ${\displaystyle \Delta _{0}}$-Formeln in der Levy-Hierarchie sind alle mengentheoretischen Formeln (der oben festgelegten Sprache), die durch folgende Regeln gebildet werden können

• Jede Formel ohne Quantoren ist eine ${\displaystyle \Delta _{0}}$-Formel
• Sind ${\displaystyle \varphi }$ und ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \Delta _{0}}$-Formeln, so auch ${\displaystyle \neg \varphi ,\varphi \land \psi ,\varphi \lor \psi ,\varphi \rightarrow \psi }$ und ${\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }$.
• Ist ${\displaystyle \varphi }$ eine ${\displaystyle \Delta _{0}}$-Formel, so auch ${\displaystyle \forall x(x\in y\rightarrow \varphi )}$ und ${\displaystyle \exists x(x\in y\land \varphi )}$.

Mit diesen Begriffsbildungen gilt folgender Satz[3]:

• Ein transitives Prädikat spiegelt jede ${\displaystyle \Delta _{0}}$-Formel.

Beispiele solcher ${\displaystyle \Delta _{0}}$-Formeln sind

• ${\displaystyle x\subset y}$, das heißt ${\displaystyle \forall z(z\in x\rightarrow z\in y)}$
• ${\displaystyle x=\emptyset }$, das heißt ${\displaystyle \neg \exists z\,(z\in x)}$
• ${\displaystyle x}$ ist Nachfolger von ${\displaystyle y}$, das heißt ${\displaystyle x=y\cup \{y\}}$ bzw. ${\displaystyle \forall z\,(z\in x\leftrightarrow (z\in y\lor z=y))}$

Derartige Aussagen sind also ${\displaystyle P}$-absolut für jede transitive Klasse ${\displaystyle P}$. Man kann zeigen, dass Aussagen der Art „${\displaystyle x}$ ist Potenzmenge von ${\displaystyle y}$“ oder „${\displaystyle x}$ ist eine Kardinalzahl“ nicht von diesem Typ sind. Daher spielen transitive Relativierungen, das heißt Relativierungen nach transitiven Prädikaten, eine wichtige Rolle in der Modelltheorie der Mengenlehre.

1. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, Kap X, Definition 1.1
2. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, Kap X, Definition 1.3
3. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Lemma 12.9