Transitive Menge

In der Mengenlehre nennt man eine Menge $A$ transitiv, falls

aus $x\in A$ und $y\in x$ immer folgt, dass $y\in A$ , in Zeichen:

\forall x,y:\,x\in A\land y\in x\Rightarrow y\in A

,

oder äquivalent falls

jedes Element von $A$ , das eine Menge ist, eine Teilmenge von $A$ ist.

Auf ‚echte‘ (d. h. von der Leermenge verschiedene) Urelemente kommt es dabei nicht an.
Analog dazu nennt man eine Klasse $A$ transitiv, falls jedes Element von $A$ eine Teilmenge von $A$ ist.

Beispiele

Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge.
Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

Eigenschaften

Eine Menge $A$ ist genau dann transitiv, wenn $\bigcup A\subseteq A$ , wobei $\bigcup A=\bigcup _{x\in A}x=\{y|(\exists x\in A)y\in x\}=\{y|y\in ^{2}A\}$ die Vereinigung aller Elemente von $A$ ist.[1]
Falls $A$ transitiv ist, dann ist auch $\bigcup A$ transitiv.
Falls $A$ und $B$ transitive Mengen sind, dann ist auch $A\cup B\cup \{A,B\}$ transitiv
Allgemein, falls $A$ eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist $A\cup \bigcup A$ eine transitive Klasse.
Eine Menge $A$ ist genau dann transitiv, wenn $A$ eine Teilmenge der Potenzmenge von $A$ ist.
Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der Von-Neumann-Hierarchie verwendet um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Verallgemeinerung

Sei gegeben eine Menge (oder Klasse) $A$ und eine Relation $R$ darauf. $A$ heißt $R$ -transitiv, wenn gilt:

\forall x,y:\,x\in A\land y\,R\,x\Rightarrow y\in A

.[2]

Im Fall $R={\in }$ ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

Anmerkungen

In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.
Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31

Siehe auch

Literatur

Thomas Jech: The Axiom of Choice. Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8 ( [originally published in 1973]).

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[1] In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.

[2] Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31