Transinformation

Für zwei Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sei ${\displaystyle P^{(2)}}$ die gemeinsame diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p(x,y)}$ und den zugehörigen Randverteilungen ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$ mit den Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p(x)}$ und ${\displaystyle q(y)}$ Dann ist die Transinformation als

${\displaystyle I(X;Y)=\sum _{x}\sum _{y}p(x,y)\cdot \log _{2}\left({\frac {p(x,y)}{p(x)q(y)}}\right)}$[1][2]

definiert.

Die Transinformation ${\displaystyle I(X;Y)}$ kann als Erwartungswert bezüglich der gemeinsamen Verteilung von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ aufgefasst werden:

${\displaystyle I(X;Y)=\mathbb {E} \left[\log _{2}\left({\frac {p(X,Y)}{p(X)q(Y)}}\right)\right].}$

Dabei sind ${\displaystyle p(X,Y)}$, ${\displaystyle p(X)}$ und ${\displaystyle q(Y)}$ Zufallsvariablen und die Erwartungsbildung bezieht sich auf die gemeinsame Verteilung von ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$.

• Zu den Entropien

${\displaystyle H(X)=-\sum _{x}p(x)\log _{2}(p(x))}$

der Zufallsvariablen ${\displaystyle X}$ (bzw. der Verteilung ${\displaystyle P}$),

${\displaystyle H(Y)=-\sum _{y}q(y)\log _{2}(q(y))}$

der Zufallsvariablen ${\displaystyle Y}$ (bzw. der Verteilung ${\displaystyle Q}$) und

${\displaystyle H(X,Y)=-\sum _{x}\sum _{y}p(x,y)\log _{2}\left(p(x,y)\right)}$

des Zufallsvektors ${\displaystyle (X,Y)}$ (bzw. der zweidimensionalen Verteilung ${\displaystyle P^{(2)}}$) besteht die Beziehung

${\displaystyle I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y)\;,}$

die auch alternativ zur Definition der Transinformation verwendet werden kann.[2]

• Die Transinformation ist die Kullback-Leibler-Divergenz ${\displaystyle D(\cdot \|\cdot )}$ der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung ${\displaystyle P^{(2)}}$ bezüglich der Produktverteilung ${\displaystyle P\otimes Q}$ der beiden Randverteilungen ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle Q}$, es gilt also

${\displaystyle I(X;Y)=D(P^{(2)}\|P\otimes Q)\;.}$

Auch dieser Zusammenhang kann zur Definition der Transinformation verwendet werden.

• Mit der bedingten Entropie

${\displaystyle H(X\vert Y)=-\sum _{x}\sum _{y}p(x,y)\log _{2}(p(x\vert y))=-\sum _{x}\sum _{y}p(x,y)\log _{2}\left({\frac {p(x,y)}{q(y)}}\right)}$

besteht die Beziehung

${\displaystyle I(X;Y)=H(X)-H(X\vert Y)\;,}$

Mit der bedingten Entropie

${\displaystyle H(Y\vert X)=-\sum _{x}\sum _{y}p(x,y)\log _{2}(p(y\vert x))=-\sum _{x}\sum _{y}p(x,y)\log _{2}\left({\frac {p(x,y)}{p(x)}}\right)}$

besteht die Beziehung

${\displaystyle I(X;Y)=H(Y)-H(Y\vert X)\;,}$

Im Zusammenhang mit der Interpretation als Informationsübertragung von einer Informationsquelle (Sender) ${\displaystyle X}$ zu einer Informationssenke (Empfänger) ${\displaystyle Y}$ heißen ${\displaystyle H(X)}$ Quell-Entropie und ${\displaystyle H(X\vert Y)}$ Äquivokation, so dass "Quell-Entropie = Transinformation + Äquivokation" gilt, und heißen ${\displaystyle H(Y)}$ Empfangs-Entropie und ${\displaystyle H(Y\vert X)}$ Fehlinformation, so dass "Empfangs-Entropie = Transinformation + Fehlinformation" gilt.

Darstellung in einem Sankey-Diagramm: Ein gedächtnisloser Kanal verbindet die zwei Quellen X und Y. Von X nach Y fließt Transinformation. Die Empfänger-Quelle Y der Entsende-Quelle X verhält sich wie eine Quelle. Es wird nicht zwischen Empfänger und Entsender unterschieden. Je mehr die Quellen voneinander abhängen, desto mehr Transinformation ist vorhanden.

Zwei gedächtnislose Kanäle verbinden drei Quellen. Von der Senderquelle X kann der Empfängerquelle Y eine Transinformation von I(x;y) übermittelt werden. Wird diese Transinformation weiter geleitet so empfängt die Empfängerquelle Z eine Transinformation von I(X;Z). Man kann hier deutlich sehen, dass die Transinformation von der Menge an Äquivokation abhängt.

Verschwindet die Transinformation, so spricht man von statistischer Unabhängigkeit der beiden Zufallsgrößen. Die Transinformation wird maximal, wenn sich eine Zufallsgröße vollkommen aus der anderen berechnen lässt. Die Transinformation beruht auf der von Claude Shannon eingeführten Definition der Information mit Hilfe der Entropie (Unsicherheit, mittlerer Informationsgehalt). Nimmt die Transinformation zu, so verringert sich die Unsicherheit über eine Zufallsgröße unter der Voraussetzung, dass die andere bekannt ist. Ist die Transinformation maximal, verschwindet die Unsicherheit folglich. Wie aus der formalen Definition zu sehen ist, wird die Ungewissheit einer Zufallsvariable durch Kenntnis einer anderen reduziert. Dies drückt sich in der Transinformation aus.

Die Transinformation spielt beispielsweise bei der Datenübertragung eine Rolle. Mit ihr lässt sich die Kanalkapazität eines Kanals bestimmen.

Entsprechend kann auch eine Entropie H(Z) von zwei verschiedenen, wiederum voneinander abhängigen, Entropien abhängen:

In der Fachliteratur werden verschiedene Begriffe verwendet. Die Äquivokation wird auch als „Verlustentropie“ und die Fehlinformation auch als „Irrelevanz“ bezeichnet. Die Transinformation wird auch als „Transmission“ oder „mittlerer Transinformationsgehalt“ bezeichnet.

• Martin Werner: Information und Codierung. Grundlagen und Anwendungen, 2. Auflage, Vieweg + Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0232-3.
• Herbert Schneider-Obermann: Basiswissen der Elektro-, Digital- und Informationstechnik. 1. Auflage. Friedrich Vieweg & Sohn Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-528-03979-0.
• D. Krönig, M. Lang (Hrsg.): Physik und Informatik – Informatik und Physik. Springer Verlag, Berlin/Heidelberg 1991, ISBN 978-3-540-55298-7.

• Peter E. Latham, Yasser Roudi: Mutual information. In: Scholarpedia. (englisch, inkl. Literaturangaben)
• Informationskanäle und ihre Kapazität (abgerufen am 26. Februar 2018)
• Entropy, Transinformation and Word Distribution of Information{Carrying Sequences (abgerufen am 26. Februar 2018)
• Informations und Kodierungstheorie (abgerufen am 26. Februar 2018)
• Formeln und Notizen Informationstheorie (abgerufen am 26. Februar 2018)

1. R. López De Mántaras: A Distance-Based Attribute Selection Measure for Decision Tree Induction. In: Machine Learning. Band 6, Nr. 1, 1. Januar 1991, ISSN 0885-6125, S. 81–92, doi:10.1023/A:1022694001379 (springer.com [abgerufen am 14. Mai 2016]).
2. Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 64.