Basiswechsel (Vektorraum)

Kommutatives Diagramm

Es sei ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler Vektorraum über dem Körper ${\displaystyle K}$ (zum Beispiel dem Körper ${\displaystyle \mathbb {R} }$ der reellen Zahlen). In ${\displaystyle V}$ seien zwei geordnete Basen gegeben, ${\displaystyle B=(b_{1},\ldots ,b_{n})}$ und ${\displaystyle B'=(b_{1}',\ldots ,b_{n}')}$.

Die Basiswechselmatrix ${\displaystyle T_{B'}^{B}}$ für den Basiswechsel von ${\displaystyle B}$ nach ${\displaystyle B'}$ ist eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix. Es handelt sich um die Abbildungsmatrix der Identitätsabbildung auf ${\displaystyle V}$ bezüglich der Basen ${\displaystyle B}$ im Urbild und ${\displaystyle B'}$ im Bild:

${\displaystyle T_{B'}^{B}=M_{B'}^{B}(\operatorname {id_{V}} )}$

Man erhält sie, indem man die Vektoren der alten Basis ${\displaystyle B}$ als Linearkombinationen der Vektoren der neuen Basis ${\displaystyle B{}'}$ darstellt:

${\displaystyle b_{j}=a_{1j}b_{1}{}'+a_{2j}b_{2}{}'+\dots +a_{nj}b_{n}{}'=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}b_{i}{}',\qquad j=1,\dots ,n}$

Die Koeffizienten ${\displaystyle a_{1j},\dots ,a_{nj}}$ bilden die ${\displaystyle j}$-te Spalte der Basiswechselmatrix

${\displaystyle T_{B'}^{B}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1j}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nj}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}$

Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar und somit ein Element der allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \mathrm {GL} \left(n,K\right)}$. Ihre Inverse ${\displaystyle \left(T_{B'}^{B}\right)^{-1}=T_{B}^{B'}}$ beschreibt den Basiswechsel von ${\displaystyle B'}$ zurück nach ${\displaystyle B}$.

Ein wichtiger Spezialfall ist der Fall ${\displaystyle V=K^{n}}$, der Vektorraum stimmt also mit dem Koordinatenraum überein. In diesem Fall sind die Basisvektoren Spaltenvektoren

${\displaystyle b_{1}={\begin{pmatrix}b_{11}\\\vdots \\b_{n1}\end{pmatrix}},\dots ,b_{j}={\begin{pmatrix}b_{1j}\\\vdots \\b_{nj}\end{pmatrix}},\dots ,b_{n}={\begin{pmatrix}b_{1n}\\\vdots \\b_{nn}\end{pmatrix}},\quad b_{1}'={\begin{pmatrix}b_{11}'\\\vdots \\b_{n1}'\end{pmatrix}},\dots ,b_{j}'={\begin{pmatrix}b_{1j}'\\\vdots \\b_{nj}'\end{pmatrix}},\dots ,b_{n}'={\begin{pmatrix}b_{1n}'\\\vdots \\b_{nn}'\end{pmatrix}},\quad }$

die sich zu Matrizen

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}b_{11}&\dots &b_{1j}&\dots &b_{1n}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\b_{i1}&\dots &b_{ij}&\dots &b_{in}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\b_{n1}&\dots &b_{nj}&\dots &b_{nn}\end{pmatrix}}\quad {\text{ und }}\quad B'={\begin{pmatrix}b_{11}'&\dots &b_{1j}'&\dots &b_{1n}'\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\b_{i1}'&\dots &b_{ij}'&\dots &b_{in}'\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\b_{n1}'&\dots &b_{nj}'&\dots &b_{nn}'\end{pmatrix}}}$

zusammenfassen lassen, die hier der Einfachheit halber mit den gleichen Buchstaben wie die zugehörigen Basen bezeichnet werden. Die Bedingung

${\displaystyle b_{j}=a_{1j}b_{1}{}'+a_{2j}b_{2}{}'+\dots +a_{nj}b_{n}{}'=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}b_{i}{}',\qquad j=1,\dots ,n}$

übersetzt sich dann zu

${\displaystyle b_{kj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}b_{ki}{}'=\sum _{i=1}^{n}b_{ki}{}'a_{ij},\qquad k,j=1,\dots ,n,}$

das heißt,

${\displaystyle B=B'\cdot T_{B'}^{B}.}$

Die Transformationsmatrix ${\displaystyle T_{B'}^{B}}$ lässt sich somit durch

${\displaystyle T_{B'}^{B}=(B')^{-1}\cdot B}$

berechnen, wobei ${\displaystyle (B')^{-1}}$ die inverse Matrix der Matrix ${\displaystyle B'}$ ist.

Insbesondere gilt: Ist ${\displaystyle B}$ die Standardbasis, so gilt ${\displaystyle T_{B'}^{B}=(B')^{-1}}$. Ist ${\displaystyle B'}$ die Standardbasis, so gilt ${\displaystyle T_{B'}^{B}=B}$.

Wie im Vorangehenden wird hier die Basis ${\displaystyle B}$ mit der Matrix identifiziert, die man erhält, indem man die Basisvektoren als Spaltenvektoren schreibt und diese zu einer Matrix zusammenfasst.

Ein Vektor ${\displaystyle x\in V}$ habe bezüglich der Basis ${\displaystyle B=(b_{1},\dots ,b_{n})}$ die Koordinaten ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, d. h.

${\displaystyle x=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+\dots +x_{n}b_{n}=\sum _{i}x_{i}\,b_{i},}$

und bezüglich der neuen Basis ${\displaystyle B'=(b_{1}',\dots ,b_{n}')}$ die Koordinaten ${\displaystyle x_{1}',\dots ,x_{n}'}$, also

${\displaystyle x=x_{1}{}'b_{1}{}'+x_{2}{}'b_{2}{}'+\dots +x_{n}{}'b_{n}{}'=\sum _{j}x_{j}{}'\,b_{j}{}'.}$

Stellt man wie oben die Vektoren ${\displaystyle b_{j}}$ der alten Basis als Linearkombination der neuen Basis dar, so erhält man

${\displaystyle x=\sum _{j}x_{j}b_{j}=\sum _{j}x_{j}\sum _{i}a_{ij}\,b_{i}{}'=\sum _{i}\left(\sum _{j}a_{ij}\,x_{j}\right)b_{i}{}'}$

Dabei sind die ${\displaystyle a_{ij}}$ die oben definierten Einträge der Basiswechselmatrix ${\displaystyle T_{B'}^{B}}$. Durch Koeffizientenvergleich erhält man

${\displaystyle x_{i}{}'=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\,x_{j},}$

bzw. in Matrizenschreibweise:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}{}'\\\vdots \\x_{n}{}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

oder kurz:

${\displaystyle x{}'=T_{B'}^{B}\,x}$

Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung hängt von der Wahl der Basen im Urbild- und im Zielraum ab. Wählt man andere Basen, so erhält man möglicherweise andere Abbildungsmatrizen.

Kommutatives Diagramm der beteiligten Abbildungen. Mit ${\displaystyle A}$ wird hier die lineare Abbildung von ${\displaystyle K^{n}}$ nach ${\displaystyle V}$ bezeichnet, die ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ auf ${\displaystyle x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}}$ abbildet, etc.

Seien ${\displaystyle V}$ ein ${\displaystyle n}$-dimensionaler und ${\displaystyle W}$ ein ${\displaystyle m}$-dimensionaler Vektorraum über ${\displaystyle K}$ und ${\displaystyle f\colon V\to W}$ eine lineare Abbildung. In ${\displaystyle V}$ seien die geordneten Basen ${\displaystyle A=(a_{1},\dots ,a_{n})}$ und ${\displaystyle A'=(a_{1}{}',\dots ,a_{n}{}')}$ gegeben, in ${\displaystyle W}$ die geordneten Basen ${\displaystyle B=(b_{1},\dots ,b_{m})}$ und ${\displaystyle B'=(b_{1}{}',\dots ,b_{m}{}')}$. Dann gilt für die Darstellungsmatrizen von ${\displaystyle f}$ bezüglich ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bzw. bezüglich ${\displaystyle A'}$ und ${\displaystyle B'}$:

${\displaystyle M_{B'}^{A'}(f)=T_{B'}^{B}\cdot M_{B}^{A}(f)\cdot T_{A}^{A'}}$

Man erhält diese Darstellung, indem man

${\displaystyle f=\operatorname {id} _{W}\circ f\circ \operatorname {id} _{V}}$

schreibt. Die Abbildungsmatrix der Verkettung ist dann das Matrizenprodukt der einzelnen Abbildungsmatrizen, wenn die Basen passend gewählt sind, das heißt: die Basis ${\displaystyle A'}$ im Urbild von ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$, die Basis ${\displaystyle A}$ im Bild von ${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$ und im Urbild von ${\displaystyle f}$, die Basis ${\displaystyle B}$ im Bild von ${\displaystyle f}$ und im Urbild von ${\displaystyle \operatorname {id} _{W}}$, und die Basis ${\displaystyle B'}$ im Bild von ${\displaystyle \operatorname {id} _{W}}$. Man erhält also:

${\displaystyle M_{B'}^{A'}(f)=M_{B'}^{B}(\operatorname {id} _{W})\cdot M_{B}^{A}(f)\cdot M_{A}^{A'}(\operatorname {id} _{V})}$

Ein wichtiger Spezialfall ist, wenn ${\displaystyle f\colon V\to V}$ ein Endomorphismus ist und im Urbild und Bild jeweils dieselbe Basis ${\displaystyle B}$ bzw. ${\displaystyle B'}$ benutzt wird. Dann gilt:

${\displaystyle M_{B'}^{B'}(f)=T_{B'}^{B}\cdot M_{B}^{B}(f)\cdot T_{B}^{B'}}$

Setzt man ${\displaystyle T:=T_{B'}^{B}}$, so gilt also

${\displaystyle M_{B'}^{B'}(f)=T\cdot M_{B}^{B}(f)\cdot T^{-1}.}$

Die Abbildungsmatrizen ${\displaystyle M_{B'}^{B'}(f)}$ und ${\displaystyle M_{B}^{B}(f)}$ sind also ähnlich.

Wir betrachten zwei Basen ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},b_{3})}$ und ${\displaystyle B'=(b_{1}',b_{2}',b_{3}')}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mit

${\displaystyle b_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}},b_{2}={\begin{pmatrix}3\\1\\0\end{pmatrix}},b_{3}={\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}}$

und

${\displaystyle b_{1}'={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},b_{2}'={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},b_{3}'={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}\,,}$

wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezüglich der Standardbasis beschreibt.

Die Transformation der Koordinaten eines Vektors

${\displaystyle v=x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+x_{3}b_{3}=x_{1}'b_{1}'+x_{2}'b_{2}'+x_{3}'b_{3}'}$

ergibt sich durch die Darstellung der alten Basisvektoren ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3})}$ bezüglich der neuen Basis ${\displaystyle (b_{1}',b_{2}',b_{3}')}$ und deren Gewichtung mit ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$.

Um die Matrix der Basistransformation ${\displaystyle T_{B'}^{B}=(a_{ij})}$ von ${\displaystyle B}$ nach ${\displaystyle B'}$ zu berechnen, müssen wir die drei linearen Gleichungssysteme

${\displaystyle x_{j}=a_{1j}x_{1}'+a_{2j}x_{2}'+a_{3j}x_{3}'}$

nach den 9 Unbekannten ${\displaystyle a_{ij}}$ auflösen.

Dies kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus für alle drei Gleichungssysteme simultan erfolgen. Dazu wird folgendes lineares Gleichungssystem aufgestellt:

${\displaystyle \left({\begin{array}{c c c | c c c}1&0&1&1&3&2\\0&1&1&0&1&1\\1&1&0&2&0&1\end{array}}\right)}$

Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lässt sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhält man als Lösung des Systems die Transformationsmatrix

${\displaystyle T_{B'}^{B}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}}$.

Wir betrachten den Vektor ${\displaystyle v=2b_{1}-b_{2}+3b_{3}}$, also den Vektor der bezüglich der Basis ${\displaystyle B}$ die Koordinaten

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}}$

besitzt. Um nun die Koordinaten bezüglich ${\displaystyle B'}$ zu berechnen, müssen wir die Transformationsmatrix ${\displaystyle T_{B'}^{B}}$ mit diesem Spaltenvektor multiplizieren:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\\x_{3}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {3}{2}}&1&1\\{\frac {1}{2}}&-1&0\\-{\frac {1}{2}}&2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\\0\end{pmatrix}}}$.

Also ist ${\displaystyle v=5b_{1}'+2b_{2}'+0b_{3}'}$.

In der Tat rechnet man als Probe leicht nach, dass

${\displaystyle 2b_{1}-b_{2}+3b_{3}=5b_{1}'+2b_{2}'+0b_{3}'}$

gilt.

Im wichtigen und anschaulichen Spezialfall des euklidischen Vektorraums (V, ·) kann der Basiswechsel elegant mit der dualen Basis ${\displaystyle ({\vec {b}}^{1},\ldots ,{\vec {b}}^{n})}$ einer Basis ${\displaystyle ({\vec {b}}_{1},\ldots ,{\vec {b}}_{n})}$ durchgeführt werden. Für die Basisvektoren gilt dann

${\displaystyle {\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{j}=\delta _{i}^{j}.}$

mit dem Kronecker-Delta ${\displaystyle \delta }$. Skalare Multiplikation eines Vektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$ mit den Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {b}}^{i}}$, Multiplikation dieser Skalarprodukte mit den Basisvektoren ${\displaystyle {\vec {b}}_{i}}$ und Addition aller Gleichungen ergibt einen Vektor ${\displaystyle {\vec {w}}:=({\vec {b}}^{i}\cdot {\vec {v}}){\vec {b}}_{i}.}$ Hier wie im Folgenden ist die Einsteinsche Summenkonvention anzuwenden, der zufolge über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, im vorhergehenden Satz beispielsweise nur ${\displaystyle i}$, von eins bis ${\displaystyle n}$ zu summieren ist. Skalare Multiplikation von ${\displaystyle {\vec {w}}}$ mit irgendeinem Basisvektor ${\displaystyle {\vec {b}}^{k}}$ ergibt wegen

${\displaystyle {\vec {w}}\cdot {\vec {b}}^{k}=({\vec {b}}^{i}\cdot {\vec {v}}){\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {b}}^{k}=({\vec {b}}^{i}\cdot {\vec {v}})\delta _{i}^{k}={\vec {b}}^{k}\cdot {\vec {v}}}$

dasselbe Ergebnis wie die skalare Multiplikation von ${\displaystyle {\vec {v}}}$ mit diesem Basisvektor, weswegen die beiden Vektoren identisch sind:

${\displaystyle {\vec {v}}=({\vec {b}}^{i}\cdot {\vec {v}}){\vec {b}}_{i}=:v^{i}{\vec {b}}_{i}.}$

Analog zeigt sich:

${\displaystyle {\vec {v}}=({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {v}}){\vec {b}}^{i}=:v_{i}{\vec {b}}^{i}.}$

Dieser Zusammenhang zwischen den Basisvektoren und einem Vektor, seinen Komponenten und Koordinaten, gilt für jeden Vektor im gegebenen Vektorraum.

Basiswechselmatrizen besitzen vielfältige Anwendungsmöglichkeiten in der Mathematik und Physik.

• Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
• Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3.

Wikiversity: Vorlesung zu Basiswechsel – Kursmaterialien

• Seite mit ausführlichen Beispielen