Transformationssatz

Es sei ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ eine offene Menge und ${\displaystyle \Phi \colon \Omega \to \Phi (\Omega )\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \Phi (\Omega )}$ genau dann integrierbar, wenn die Funktion ${\displaystyle x\mapsto f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|}$ auf ${\displaystyle \Omega }$ integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

${\displaystyle \int _{\Phi (\Omega )}f(y)\,\mathrm {d} y=\int _{\Omega }f(\Phi (x))\cdot \left|\det(D\Phi (x))\right|\mathrm {d} x\;.}$

Dabei ist ${\displaystyle D\Phi (x)}$ die Jacobi-Matrix und ${\displaystyle \det(D\Phi (x))}$ die Funktionaldeterminante von ${\displaystyle \Phi }$.

Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke

${\displaystyle {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}{\big (}{\frac {x-\mu }{\sigma }}{\big )}^{2}}}$

gleich 1 ist, genügt es, die Aussage

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\pi }$

zu beweisen. Da die Funktion ${\displaystyle f(x,y)=\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}=\mathrm {e} ^{-r^{2}}}$ rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:

Es sei ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} _{>0}\times (0,2\pi )}$ und

${\displaystyle \Phi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{2},\quad (r,\varphi )\mapsto (r\cos \varphi ,r\sin \varphi ).}$

Dann ist die Funktionaldeterminante

${\displaystyle \det D\Phi (r,\varphi )={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi )=r.}$

Das Komplement von ${\displaystyle \Phi (\Omega )\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ist eine Nullmenge, mit ${\displaystyle f(x,y)=\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}}$ ergibt sich also

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle {}=\int _{\Phi (\Omega )}\mathrm {e} ^{-x^{2}-y^{2}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle {}=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{-(r\cos \varphi )^{2}-(r\sin \varphi )^{2}}\cdot \det D\Phi (r,\varphi )\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle {}=\int _{\Omega }\mathrm {e} ^{-r^{2}}\cdot r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle {}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }r\mathrm {e} ^{-r^{2}}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi }$

${\displaystyle {}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {d} \varphi =\pi .\,}$

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution ${\displaystyle t=r^{2}}$ begründet werden.

• Otto Forster: Analysis. Band 3: Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im Rⁿ und Anwendungen, 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
• Konrad Königsberger: Analysis 2, Springer, Berlin 2004, S. 211