Totale Differenzierbarkeit

Für Funktionen ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ wird die Ableitung an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ in der Regel durch

${\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}}$

definiert, mit ${\displaystyle h=x-x_{0}}$ bzw. ${\displaystyle x=x_{0}+h}$. In dieser Form kann man die Definition nicht auf Abbildungen ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ übertragen, da man durch ${\displaystyle h\in \mathbb {R} ^{n}}$ nicht dividieren kann. Man verfolgt deshalb einen anderen Weg.

Die Ableitung ${\displaystyle \,f'(x_{0})}$ beschreibt die Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen im Punkt ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$. Die Tangente selbst hat die Gleichung

${\displaystyle \,y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}),}$

sie ist also der Graph der linearen (affinen) Funktion

${\displaystyle x\mapsto f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$.

Diese Funktion approximiert die Funktion ${\displaystyle f}$ im folgenden Sinn:

${\displaystyle \,f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+r(x-x_{0})}$

bzw. (mit ${\displaystyle h=x-x_{0}}$, also ${\displaystyle x=x_{0}+h}$)

${\displaystyle \,f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+r(h)}$,

wobei der Fehlerterm ${\displaystyle r(h)}$ für ${\displaystyle h\to 0}$ schneller gegen 0 geht als ${\displaystyle h}$, das heißt

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {|r(h)|}{|h|}}=0.}$

In dieser Form lässt sich der Begriff der Differenzierbarkeit auf Abbildungen ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ übertragen. In diesem Fall ist ${\displaystyle h}$ ein Vektor in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle F(x_{0}+h)-F(x_{0})}$ ein Vektor in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ und ${\displaystyle \,F'(x_{0})}$ eine lineare Abbildung von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$.

Gegeben seien eine offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$, ein Punkt ${\displaystyle x_{0}\in U}$ und eine Abbildung ${\displaystyle F\colon U\to \mathbb {R} ^{m}}$. Die Abbildung ${\displaystyle F}$ heißt im Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ (total) differenzierbar, falls eine lineare Abbildung

${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

existiert, die die Abbildung

${\displaystyle h\mapsto F(x_{0}+h)-F(x_{0})}$

approximiert, das heißt, für die „Fehlerfunktion“

${\displaystyle r(h)=F(x_{0}+h)-F(x_{0})-L(h)}$

gilt

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\|r(h)\|}{\|h\|}}=0.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle h}$ einen Vektor in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Die doppelten Betragsstriche bezeichnen eine Vektornorm in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$. Da im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bzw. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ alle Normen äquivalent sind, spielt es keine Rolle, welche Norm gewählt wird.

Falls so eine lineare Abbildung ${\displaystyle L}$ existiert, so ist sie eindeutig bestimmt. Man nennt sie das (totale) Differential oder einfach nur die Ableitung von ${\displaystyle F}$ im Punkt ${\displaystyle x_{0}}$ und schreibt dafür ${\displaystyle DF(x_{0})}$, ${\displaystyle DF_{x_{0}}}$, ${\displaystyle dF_{x_{0}}}$ oder ${\displaystyle F'(x_{0})\,}$.

Falls umgekehrt in einer Umgebung von ${\displaystyle x_{0}}$ alle partiellen Ableitungen von ${\displaystyle F}$ existieren und in ${\displaystyle x_{0}}$ stetig sind, folgt schon die (totale) Differenzierbarkeit von ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle x_{0}}$.

• Totales Differential, für den auf der totalen Differenzierbarkeit aufbauenden Ableitungsbegriff für reellwertige Funktionen.
• Pushforward, der Ableitungsbegriff der sich aus der totalen Differenzierbarkeit für Funktionen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ergibt.

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.