Torsionstensor

Sei ${\displaystyle (M,\nabla )}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$. Der Torsionstensor ${\displaystyle T}$ ist ein Tensorfeld, das durch

${\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

definiert ist. Dabei sind ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (TM)}$ zwei Vektorfelder und ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ stellt die Lie-Klammer dar.[2]

Sei ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels ${\displaystyle TM}$. Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man ${\displaystyle X:=e_{i}}$, ${\displaystyle Y:=e_{j}}$ und ${\displaystyle \gamma _{ij}^{k}e_{k}:=[e_{i},e_{j}]}$, dann gilt für die Komponenten ${\displaystyle T_{ij}^{k}}$ des Torsionstensors in lokalen Koordinaten

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

Dabei bezeichnen die Symbole ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

• Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere ${\displaystyle C^{\infty }}$-linear in seinen drei Argumenten.
• Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt ${\displaystyle T(X,Y)=-T(Y,X)}$.

Ein affiner Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$ heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

${\displaystyle T(X,Y)=0}$

oder äquivalent

${\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]}$

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei ${\displaystyle M}$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang ${\displaystyle \nabla }$ und ${\displaystyle c\colon \left]-\epsilon ,\epsilon \right[\times \left]a,b\right[\to M}$ eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial }{\partial s}}{\frac {\partial }{\partial t}}c(s,t)=\nabla _{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial }{\partial s}}c(s,t)\,.}$

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach ${\displaystyle s}$ mit der nach ${\displaystyle t}$ vertauscht werden.[3]

• Torsion tensor. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).

1. Elie Cartan: On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity (= Monographs and Textbooks in Physical Science 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée).
2. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.
3. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.