Tor (Mathematik)

Der Tor-Funktor ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der homologischen Algebra. Es handelt sich um einen Bi-Funktor, der bei der Untersuchung des Tensorprodukts auftritt. Er ist neben dem Ext-Funktor eine der wichtigsten Konstruktionen der homologischen Algebra.

Motivation mittels Tensorprodukten

Wir betrachten Kategorien von Moduln über einem Ring $R$ . Ist

0\rightarrow X{\xrightarrow {\alpha }}Y{\xrightarrow {\beta }}Z\rightarrow 0

eine kurze exakte Sequenz von Links- $R$ -Moduln und Modul-Morphismen und ist $A$ ein Rechts- $R$ -Modul, so führt das Tensorieren obiger Sequenz von links mit $A$ zu einer exakten Sequenz

A\otimes _{R}X{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \alpha }}A\otimes _{R}Y{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \beta }}A\otimes _{R}Z\rightarrow 0

von abelschen Gruppen, die sich im Allgemeinen nicht mit dem Nullobjekt nach links zu einer exakten Sequenz fortsetzen lässt, das heißt $\mathrm {id} _{A}\otimes \alpha$ ist im Allgemeinen nicht injektiv, oder kurz: Der Tensorfunktor ist rechtsexakt aber im Allgemeinen nicht linksexakt.

Als Beispiel betrachte man die kurze exakte Sequenz

0\rightarrow \mathbb {Z} {\xrightarrow {\alpha }}\mathbb {Z} {\xrightarrow {\beta }}\mathbb {Z} _{2}\rightarrow 0

von $\mathbb {Z}$ -Moduln, wobei $\alpha (n):=2n$ und $\beta$ die natürliche Abbildung von $\mathbb {Z}$ auf die Restklassengruppe $\mathbb {Z} _{2}=\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}$ sei. Tensoriert man diese Sequenz mit $\mathbb {Z} _{2}$ , so ist $\mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}\otimes \alpha$ nicht injektiv, denn es ist

(\mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}\otimes \alpha )({\overline {1}}\otimes 1)=\mathrm {id} _{\mathbb {Z} _{2}}({\overline {1}})\otimes \alpha (1)={\overline {1}}\otimes 2\cdot 1=2\cdot {\overline {1}}\otimes 1={\overline {0}}\otimes 1=0

.

Dabei wurde der Faktor 2 von der torsionsfreien Gruppe $\mathbb {Z}$ mittels Tensoroperation in die Torsionsgruppe $\mathbb {Z} _{2}$ verschoben und hat dort zu einer 0 geführt. Das ist der typische Grund, warum die Injektivität des Morphismus $\alpha$ beim Übergang zur tensorierten Sequenz verloren geht. Die fehlende Injektivität führt zum Auftreten eines Kerns und gibt Anlass zu folgender Definition.

Definition

Es seien $A$ ein Rechts- $R$ -Modul und $B$ ein Links- $R$ -Modul. Weiter sei

0\rightarrow S{\xrightarrow {\mu }}P{\xrightarrow {\nu }}B\rightarrow 0

eine kurze exakte Sequenz mit projektivem Modul $P$ . Dann definiert man die abelsche Gruppe

\operatorname {Tor} (A,B):=\operatorname {ker} (A\otimes _{R}S\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \mu } A\otimes _{R}P)

und man kann zeigen, dass diese Definition nicht von der gewählten exakten Sequenz $0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow B\rightarrow 0$ mit projektivem $P$ abhängt. Das rechtfertigt die Schreibweise $\operatorname {Tor} (A,B)$ ohne Hinweis auf diese Sequenz. Manchmal fügt man noch den Ring $R$ an und schreibt $\operatorname {Tor} ^{R}(A,B)$ .

Ist $\alpha \colon A\rightarrow A'$ ein Morphismus, so entnimmt man dem kommutativen Diagramm

{\begin{array}{cccccc}A\otimes _{R}S&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \mu }}&A\otimes _{R}P&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A}\otimes \nu }}&A\otimes _{R}B&\rightarrow 0\\\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{S}}&&\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{P}}&&\downarrow _{\alpha \otimes \mathrm {id} _{B}}&\\A'\otimes _{R}S&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A'}\otimes \mu }}&A'\otimes _{R}P&{\xrightarrow {\mathrm {id} _{A'}\otimes \nu }}&A'\otimes _{R}B&\rightarrow 0\end{array}}

,

dass die Einschränkung von $\alpha \otimes \mathrm {id} _{S}$ den Kern von $\mathrm {id} _{A}\otimes \mu$ nach $\operatorname {ker} (\mathrm {id} _{A'}\otimes \mu )$ abbildet und so einen Gruppenhomomorphismus $\alpha _{*}\colon \operatorname {Tor} (A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} (A',B)$ definiert. Auf diese Weise erhält man einen Funktor $\operatorname {Tor} ^{R}(-,B)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}$ von der Kategorie der Rechts- $R$ -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Weiter kann man die Rollen von $A$ und $B$ vertauschen, das heißt man geht von der exakten Sequenz $0\rightarrow S\rightarrow P\rightarrow A$ von Rechts- $R$ -Moduln aus und zeigt, dass man mit $\operatorname {ker} (S\otimes _{R}B\rightarrow P\otimes _{R}B)$ eine zu obiger Definition natürlich isomorphe Gruppe erhält, die daher ebenfalls mit $\operatorname {Tor} (A,B)$ bzw. $\operatorname {Tor} ^{R}(A,B)$ bezeichnet werden kann. Insgesamt erhält man so einen Bi-Funktor

\operatorname {Tor} ^{R}(-,-)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\times {\mathfrak {lMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}

von dem Produkt der Kategorie der Rechts-Moduln über $R$ mit der Kategorie der Links-Moduln über $R$ in die Kategorie der abelschen Gruppen.[1]

Der Tor-Funktor ist additiv, das heißt man hat natürliche Isomorphismen

\operatorname {Tor} ^{R}(A\oplus A',B)\cong \operatorname {Tor} ^{R}(A,B)\oplus \operatorname {Tor} ^{R}(A',B)

\operatorname {Tor} ^{R}(A,B\oplus B')\cong \operatorname {Tor} ^{R}(A,B)\oplus \operatorname {Tor} ^{R}(A,B')

für Rechts- $R$ -Moduln $A,A^{'}$ und Links- $R$ -Moduln $B,B^{'}$ .

Abelsche Gruppen

Wählt man $\mathbb {Z}$ als Grundring, so bewegt man sich in der Kategorie der abelschen Gruppen, denn diese sind genau die $\mathbb {Z}$ -Moduln, und man muss wegen der Kommutativität des Grundrings nicht zwischen Links- und Rechts-Moduln unterscheiden. In dieser Kategorie ergeben sich gewisse Vereinfachungen und man findet einen Zusammenhang zwischen dem Tor-Funktor und der für ihn namensgebenden Torsion von Gruppen.

Alternative Beschreibung von Tor(A,B)

Im Falle abelscher Gruppen $A$ und $B$ kann $\operatorname {Tor} (A,B)$ wie folgt durch Erzeuger und Relationen präsentiert werden.[2]

Die Menge ${\mathcal {E}}$ der Erzeuger sei die Menge aller Symbole $\langle a,m,b\rangle$ mit $a\in A,m\in \mathbb {Z} ,b\in B$ , $am=0$ und $mb=0$ , wobei hier die $\mathbb {Z}$ -Modul-Operation nur aus praktischen Gründen einmal links und einmal rechts geschrieben wurde, eine Unterscheidung ist, wie oben erwähnt, nicht nötig. Die Menge ${\mathcal {R}}$ der Relationen enthalte alle Ausdrücke der Form

\langle a_{1}+a_{2},m,b\rangle =\langle a_{1},m,b\rangle +\langle a_{2},m,b\rangle ,\quad \langle a_{1},m,b\rangle ,\langle a_{2},m,b\rangle \in {\mathcal {E}}

\langle a,m,b_{1}+b_{2}\rangle =\langle a,m,b_{1}\rangle +\langle a,m,b_{2}\rangle ,\quad \langle a,m,b_{1}\rangle ,\langle a,m,b_{2}\rangle \in {\mathcal {E}}

\langle a,mn,b\rangle =\langle am,n,b\rangle ,\quad \langle am,n,b\rangle \in {\mathcal {E}}

\langle a,mn,b\rangle =\langle a,m,nb\rangle ,\quad \langle a,m,nb\rangle \in {\mathcal {E}}

Dann kann man zeigen, dass die durch $\langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle$ präsentierte Gruppe zu $\operatorname {Tor} (A,B)$ isomorph ist. Zur Konstruktion einer Abbildung $\langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle \rightarrow \operatorname {Tor} (A,B)$ sei $0\rightarrow S{\xrightarrow {\mu }}P{\xrightarrow {\nu }}B\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz mit projektivem $\mathbb {Z}$ -Modul $P$ und $\langle a,m,b\rangle$ ein Erzeuger. Wähle $p\in P$ mit $\nu (p)=b$ . Dann ist $\nu (mp)=mb=0$ und wegen der Exaktheit gibt es genau ein $s\in S$ mit $\mu (s)=mp$ . Man kann zeigen, dass $a\otimes s$ nicht von der Wahl $p$ abhängt. Da

(\mathrm {id} _{A}\otimes \mu )(a\otimes s)=a\otimes \mu (s)=a\otimes mp=am\otimes p=0\otimes p=0

,

liegt $a\otimes s$ im Kern von $\mathrm {id} _{A}\otimes \mu$ und damit definitionsgemäß in $\operatorname {Tor} (A,B)$ . Die vorgestellte Konstruktion definiert daher eine Abbildung $\langle {\mathcal {E}}|{\mathcal {R}}\rangle \rightarrow \operatorname {Tor} (A,B)$ , von der man zeigen kann, dass es sich um einen Gruppenisomorphismus handelt.

Charakterisierung torsionsfreier Gruppen

Für eine abelsche Gruppe $A$ sind folgende Aussagen äquivalent[3]:

$A$ ist torsionsfrei, das heißt enthält außer 0 keine Elemente endlicher Ordnung.
$\operatorname {Tor} (A,B)=0$ für alle abelschen Gruppen $B$ .
Für alle injektiven Gruppenhomomorphismen $\beta \colon B\rightarrow C$ ist auch $\mathrm {id} _{A}\otimes \beta \colon A\otimes _{\mathbb {Z} }B\rightarrow A\otimes _{\mathbb {Z} }C$ injektiv.
Jede exakte Sequenz abelscher Gruppen geht durch Tensorieren mit $A$ wieder in eine exakte Sequenz über.

Insbesondere ist $\operatorname {Tor} (A,B)=0$ , falls eine der Gruppen gleich $\mathbb {Z}$ oder $\mathbb {Q}$ ist.

Endlich erzeugte abelsche Gruppen

$\operatorname {Tor} (A,B)$ lässt sich für endlich erzeugte abelsche Gruppen vollständig berechnen. Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sind solche Gruppen direkte Summen von zyklischen Gruppen, so dass $\operatorname {Tor} (A,B)$ wegen der Additivität des Tor-Funktors nur noch für zyklische Gruppen zu bestimmen ist. Ist eine der Gruppen gleich $\mathbb {Z}$ , so ist $\operatorname {Tor} (A,B)=0$ und es bleibt nur noch der Fall endlicher zyklischer Gruppen. Sei $\mathbb {Z} _{n}$ die zyklische Gruppe der Ordnung $n$ . Dann folgt[4]

\operatorname {Tor} (\mathbb {Z} _{n},B)\cong \{b\in B;nb=0\}

und daraus, wenn man den größten gemeinsamen Teiler von $m$ und $n$ mit $(m,n)$ bezeichnet:

\operatorname {Tor} (\mathbb {Z} _{m},\mathbb {Z} _{n})\cong \mathbb {Z} _{(m,n)}

,

was man aber auch direkt aus der Definition mit der Auflösung $0\rightarrow \mathbb {Z} {\xrightarrow {a\mapsto ma}}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} _{m}$ herleiten kann. Damit ist $\operatorname {Tor} (A,B)$ für endlich erzeugte abelsche Gruppen bestimmt.

Tor als Ableitung des Tensor-Funktors

Eine allgemeinere Definition erhält man durch

\operatorname {Tor} _{n}^{R}(A,B):=L_{n}(-\otimes _{R}B)(A)\cong L_{n}(A\otimes _{R}-)(B)

als $n$ -te Linksableitung des Tensorfunktors. Ist der Grundring $R$ durch den Kontext gegeben, so lässt man ihn in der Bezeichnung fort und schreibt einfach $\operatorname {Tor} _{n}(A,B)$ . Man erhält so eine Folge von Bi-Funktoren

\operatorname {Tor} _{n}^{R}(-,-)\colon {\mathfrak {rMod}}_{R}\times {\mathfrak {lMod}}_{R}\rightarrow {\mathfrak {Ab}}

.

Verwendet man projektive Auflösungen zur Berechnung von $\operatorname {Tor} _{n}^{R}(A,B)$ , so sieht man, dass $\operatorname {Tor} _{1}^{R}(A,B)$ mit dem oben definierten $\operatorname {Tor}$ -Funktor zusammenfällt.

Man erhält aus der allgemeinen Theorie folgende lange exakte Sequenzen, die zeigen, wie der Tor-Funktor die fehlende Linksexaktheit des Tensorfunktors kompensiert.[5]

Ist $0\rightarrow A\rightarrow A^{'}\rightarrow A^{''}\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von Rechts- $R$ -Moduln und $B$ ein Links- $R$ -Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

\ldots \rightarrow \operatorname {Tor} _{2}(A^{''},B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A^{'},B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A^{''},B)

\rightarrow A\otimes _{R}B\rightarrow A^{'}\otimes _{R}B\rightarrow A^{''}\otimes _{R}B\rightarrow 0

.

Ist $0\rightarrow B\rightarrow B^{'}\rightarrow B^{''}\rightarrow 0$ eine kurze exakte Sequenz von Links- $R$ -Moduln und $A$ ein Rechts- $R$ -Modul, so hat man eine lange exakte Sequenz

\ldots \rightarrow \operatorname {Tor} _{2}(A,B^{''})\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B)\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B^{'})\rightarrow \operatorname {Tor} _{1}(A,B^{''})

\rightarrow A\otimes _{R}B\rightarrow A\otimes _{R}B^{'}\rightarrow A\otimes _{R}B^{''}\rightarrow 0

.

Einzelnachweise

P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel III.8: The Functor Tor
Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"
Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, Theorem 6.2
Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"
P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel IV.11: The Functor $\operatorname {Tor} _{n}^{\Lambda }$

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[1] P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel III.8: The Functor Tor

[2] Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"

[3] Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, Theorem 6.2

[4] Saunders Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 114 (1967), Kap. V, § 6, "Torsion Products of Groups"

[5] P. J. Hilton und U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer-Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, Kapitel IV.11: The Functor $\operatorname {Tor} _{n}^{\Lambda }$