Geschlecht (Fläche)

Unter dem Geschlecht einer kompakten orientierbaren Fläche versteht man in der Topologie die Anzahl der „Löcher“ (oder der „Henkel“) der Fläche. Die Bezeichnung und die Definition gehen auf Alfred Clebsch zurück.

Das Geschlecht ist eine topologische Invariante. Der Klassifikationssatz für Flächen besagt, dass geschlossene orientierbare Flächen bis auf Homöomorphie durch ihr Geschlecht klassifiziert werden.

Definition

Das Geschlecht einer Fläche ist definiert als die maximale Anzahl von möglichen Schnitten entlang disjunkter, einfach geschlossener Kurven, so dass die Fläche nach dem Schnittvorgang, also nach allen gemachten Schnitten, immer noch zusammenhängend ist.

Begriff

Bernhard Riemann befasste sich schon 1857 mit „Löchern“ in Flächen. Er nannte diese Größe Klassenzahl. Der Begriff Geschlecht wurde 1864 durch Alfred Clebsch eingeführt.[1]

Beispiele

Dieser Doppeltorus hat das Geschlecht 2.

Diese Brezel hat, wenn man die Oberfläche mathem. idealisiert betrachtet das Geschlecht 3.

Die Kugeloberfläche $S^{2}$ hat das Geschlecht 0, da sie keine Löcher hat, bzw. jeder Schnitt sie in zwei nichtzusammenhängende Teile teilt.

Die Torusfläche hat das Geschlecht 1.

Beziehungen zu anderen Größen

Die Euler-Charakteristik $\chi$ und das Geschlecht $g$ hängen für orientierbare, geschlossene Flächen wie folgt zusammen

\chi =2-2g

.

Siehe auch

Geschlecht (algebraische Kurve)

Literatur

Wladimir G. Boltjanski, Vadim A. Efremovitsch: Anschauliche kombinatorische Topologie. Mit einem Vorwort von S. P. Novikov. Übersetzt aus dem Russischen und mit einem Vorwort von Detlef Seese und Martin Weese (= Mathematische Schülerbücherei. Band 129). Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1986, ISBN 3-326-00008-1.

Einzelnachweise

D.D. Bleecker, B. Booss: Topology and Analysis: The Atiyah-Singer Index Formula and Gauge-Theoretic Physics. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-1-4684-0627-6, S. 288 (google.com).

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[BleeckerBooss2012-1] D.D. Bleecker, B. Booss: Topology and Analysis: The Atiyah-Singer Index Formula and Gauge-Theoretic Physics. Springer Science & Business Media, 2012, ISBN 978-1-4684-0627-6, S. 288 (google.com).