Topologischer Ring

• Die Körper der rationalen, reellen und komplexen Zahlen sind topologische Körper bezüglich der üblichen Topologie (des durch die Betragsfunktion definierten metrischen Raumes).
• Etwas allgemeiner sind alle bewerteten Körper topologische Körper. Hierzu gehören wieder die rationalen Zahlen mit einer ${\displaystyle p}$-adischen Bewertung (${\displaystyle p}$ Primzahl). Bezüglich jeder ${\displaystyle p}$-adischen Bewertung kann ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ zu einem vollständigen metrischen Raum, wieder einem topologischen Körper, dem Körper der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen komplettiert werden.
• Ein Beispiel für einen „echten“ topologischen Schiefkörper ist der Quaternionenschiefkörper ${\displaystyle \mathbb {H} }$.

• Wichtige Beispiele für topologische Ringe liefern die Algebren ${\displaystyle A}$ von stetigen linearen Selbstabbildungen ${\displaystyle F}$ eines normierten Vektorraumes ${\displaystyle V}$ über einem Körper ${\displaystyle K}$ mit ${\displaystyle \mathbb {Q} \subseteq K\subseteq \mathbb {C} }$. Als Norm legt man hier die Abbildungsnorm zugrunde:

${\displaystyle ||F||_{A}:=\sup _{x\in V,\,||x||_{V}=1}\;||Fx||_{V}}$

• Hierzu gehören als einfachste Beispiele die vollen Matrizenringe ${\displaystyle R={\mathcal {M}}_{n\times n}(K)}$ der quadratischen Matrizen mit Einträgen aus ${\displaystyle K}$. Die Norm kann hier anstelle der Abbildungsnorm jede beliebige Norm auf ${\displaystyle R}$ sein, da alle dieselbe Topologie induzieren.

Beachte: Die vollen Endomorphismenringe sind, von Trivialfällen abgesehen, nicht kommutativ und auch keine Schiefkörper. Häufig sind Unterringe von Interesse, die gelegentlich eine dieser Eigenschaften haben:

• Der Ring ${\displaystyle D}$ der Diagonalmatrizen ist ein (für ${\displaystyle n>1}$ echter) kommutativer Unterring von ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n\times n}(K)}$ und damit ein topologischer Ring.
• Allgemein lassen sich alle endlichdimensionalen Algebren über einem bewerteten Körper als Matrixringe darstellen und so mit einer Topologie versehen, die mit ihren Verknüpfungen verträglich ist.

vollständige topologische Ringe in der Funktionalanalysis:

• Jede Banachalgebra. Ein besonders wichtiges Beispiel ist ${\displaystyle C(T)}$, die Menge der stetigen Funktionen auf einem kompakten topologischen Raum ${\displaystyle T}$.

topologische Ringe in der Funktionentheorie:

• Die Menge der holomorphen Funktionen auf einem Gebiet ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {C} }$ ist ein topologischer Ring (sogar ein Integritätsring), die Topologie ist die Topologie der kompakten Konvergenz.
  Auf speziellen Gebieten in der komplexen Zahlenebene sind eindeutige Darstellungen der dort holomorphen Funktionen möglich:
• Ist ${\displaystyle G}$ das Innere einer Kreisscheibe, dann besitzt jede auf ${\displaystyle G}$ holomorphe Funktion eine eindeutige Darstellung als kompakt konvergente Potenzreihe. Umgekehrt sind die auf ${\displaystyle G}$ kompakt konvergenten Potenzreihen holomorph auf ${\displaystyle G}$.
• Ist ${\displaystyle G}$ eine (rechte) Halbebene der komplexen Zahlenebene (d. h. ${\displaystyle G}$ besteht aus allen Zahlen ${\displaystyle z}$ mit ${\displaystyle Re(z)>\sigma }$ für eine feste reelle Zahl ${\displaystyle \sigma }$), dann existiert eine eindeutige Darstellung durch eine auf ${\displaystyle G}$ kompakt konvergente Dirichletreihe. Auch hier trifft analog zu den Potenzreihen die Umkehrung zu.