Topologische Landkarte

• Eine topologische Landkarte ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ auf einer Fläche ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{d}\;(d{\text{ ganzzahlig}}\;,\;d\geq 2)}$ ist ein Tripel ${\displaystyle {\mathfrak {K}}=({\mathfrak {L}},{\mathfrak {G}},E)}$, wobei ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ zwei endliche Mengensysteme von Teilmengen von ${\displaystyle F}$ sind und ${\displaystyle E\subset F}$ ebenfalls eine endliche Menge darstellt.
  • Dabei ist ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ die Kantenmenge eines topologischen Graphen in ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle E}$ ist die zugehörige Knotenmenge.
  • ${\displaystyle E}$ besteht genau aus denjenigen Punkten von ${\displaystyle F}$, welche für eine der Jordankurven ${\displaystyle g\in {\mathfrak {G}}}$ als Anfangs- oder Endpunkt auftreten.
  • Das Mengensystem ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ besteht genau aus den Wegzusammenhangskomponenten der Komplementmenge ${\displaystyle F\setminus \bigcup {\mathfrak {G}}}$.
• Man bezeichnet hierbei jedes Element von ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ als Land, jedes Element von ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ als Grenzlinie und jedes Element von ${\displaystyle E}$ als Ecke der topologischen Landkarte ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$.
• Ein Punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$ ist Randpunkt eines zu der Landkarte gehörenden Landes ${\displaystyle L}$, wenn er dem relativen topologischen Abschluss ${\displaystyle {\overline {L}}\cap F}$ von ${\displaystyle L}$ in ${\displaystyle F}$ angehört.
• Zwei Länder ${\displaystyle L_{1}}$ und ${\displaystyle L_{2}}$ von ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ heißen benachbart oder Nachbarländer, wenn unter den Grenzlinien von ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ eine vorkommt, welcher ganz aus Randpunkten sowohl von ${\displaystyle L_{1}}$ als auch von ${\displaystyle L_{2}}$ besteht.
• Eine zu einer ganzen Zahl ${\displaystyle n>0}$ gegebene Abbildung ${\displaystyle f\colon \,{\mathfrak {L}}\to \{1,\ldots ,n\}}$ nennt man ${\displaystyle n}$-Färbung.
  • Die Elemente von ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ bezeichnet man (in Einklang mit den Gepflogenheiten der Graphentheorie) als Farben.
  • Eine ${\displaystyle n}$-Färbung ${\displaystyle f\colon \,{\mathfrak {L}}\to \{1,\ldots ,n\}}$ heißt zulässig, wenn je zwei benachbarten Ländern vermöge ${\displaystyle f}$ stets zwei verschiedene Farben zugeordnet sind.
  • Gestattet eine topologischen Landkarte ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ auf ${\displaystyle F}$ für eine ganze Zahl ${\displaystyle n>0}$ eine zulässige ${\displaystyle n}$-Färbung, jedoch keine zulässige Färbung mit weniger als ${\displaystyle n}$ Farben, so nennt man diese ganze Zahl ${\displaystyle n}$ die chromatische Zahl von ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ und bezeichnet sie mit ${\displaystyle \chi ({\mathfrak {K}})}$.
  • Bildet man über alle topologischen Landkarten auf ${\displaystyle F}$ das Supremum   ${\displaystyle \sup\{\chi ({\mathfrak {K}}):{\mathfrak {K}}\;{\text{topologische Landkarte auf F}}\}}$   aller zugehörigen chromatischen Zahlen und ist diese ganze Zahl ${\displaystyle <\infty }$, so ist dies die chromatische Zahl von ${\displaystyle F}$. Sie wird mit ${\displaystyle \chi (F)}$ bezeichnet.[1]

• Die untersuchten Flächen sind in aller Regel Flächen ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} ^{d}\;(d=2,3,4)}$ .

• Satz von Weiske: Ist ${\displaystyle F}$ der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ oder die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{2}}$, so gibt es keine Landkarte mit fünf paarweise benachbarten Ländern.[2]
• Zweifarbensatz: Ist ${\displaystyle F}$ ein Rechteck und sind darüber hinaus die Grenzlinien einer gegebenen topologischen Landkarte ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ so beschaffen, dass jede von ihnen nur zwischen Randpunkten des Rechtecks verläuft oder eine innerhalb des Rechtecks verlaufene geschlossene Jordankurve darstellt, so existiert zu einer solchen topologischen Landkarte ${\displaystyle {\mathfrak {K}}}$ stets eine zulässige ${\displaystyle 2}$-Färbung.[3]
• Vier-Farben-Satz: Ist ${\displaystyle F}$ der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ oder die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{2}}$, so existiert zu jeder topologischen Landkarte auf ${\displaystyle F}$ eine zulässige ${\displaystyle 4}$-Färbung.
• Fünf-Farben-Satz: Ist ${\displaystyle M}$ der ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ oder die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{2}}$, so existiert zu jeder topologischen Landkarte auf ${\displaystyle F}$ eine zulässige ${\displaystyle 5}$-Färbung.
• Sechsfarbensatz für das Möbiusband: Das Möbiusband ${\displaystyle M}$ hat die chromatische Zahl ${\displaystyle {\chi }(M)=6}$ und es besitzt auf ihm jede topologische Landkarte eine zulässige ${\displaystyle 6}$-Färbung, wobei es unter diesen auch mindestens eine gibt, die nicht mit fünf Farben auskommt.[4]
• Heawoodsche Ungleichung: Ist für eine ganze Zahl ${\displaystyle p>0}$   ${\displaystyle H_{p}}$ eine geschlossene orientierbare Fläche vom Geschlecht ${\displaystyle p}$ und ist dabei ${\displaystyle m_{p}=\lfloor {\frac {7+{\sqrt {1+48p}}}{2}}\rfloor }$,[5] so existiert zu jeder topologischen Landkarte auf ${\displaystyle H_{p}}$ eine zulässige ${\displaystyle m_{p}}$-Färbung. Mit anderen Worten: Für jede derartige Fläche ${\displaystyle H_{p}}$ erfüllt die chromatische Zahl ${\displaystyle {\chi }(H_{p})}$ die Ungleichung ${\displaystyle {\chi }(H_{p})\leq m_{p}}$.[6]
  • Es gilt sogar für ein solches ${\displaystyle H_{p}}$ stets die Identitätsgleichung ${\displaystyle {\chi }(H_{p})=m_{p}}$.[7]
  • Insbesondere hat der Volltorus ${\displaystyle H_{1}}$ die chromatische Zahl ${\displaystyle {\chi }(H_{1})=7}$ und es besitzt auf ihm jede topologische Landkarte eine zulässige ${\displaystyle 7}$-Färbung, wobei unter diesen auch solche vorkommen, die nicht mit sechs Farben auskommen.

Das Fadenproblem besteht in der Frage nach der Lösung folgender Aufgabe:

Es soll - wenn möglich - für eine gegebene natürliche Zahl ${\displaystyle m\geq 3}$ diejenige kleinste natürliche Zahl ${\displaystyle \gamma (m)}$ bestimmt werden, für welche auf einer geschlossenen orientierbaren Fläche ${\displaystyle H_{\gamma (m)}}$ des Geschlechtes ${\displaystyle \gamma (m)}$ beliebig ausgewählte unterschiedliche Punkte ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}\in H_{\gamma (m)}}$ immer paarweise durch einfache Jordankurven in der Weise verbunden werden können, dass all diese Jordankurven einander nie überkreuzen und höchstens in den ausgewählten Punkten ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{m}}$ treffen.[9]

Wie sich zeigt, ist das Fadenproblem lösbar und dabei ergibt sich die Formel

${\displaystyle \gamma (m)=\lceil {\frac {(m-3)(m-4)}{12}}\rceil \;(m\in \mathbb {N} \;,\;m\geq 3)}$.[10]

Dabei zeigt sich weiter, dass die Gültigkeit dieser Formel auch die Gültigkeit der heawoodschen Identitätsgleichung ${\displaystyle {\chi }(H_{p})=m_{p}\;(p\in \mathbb {N} \;,\;p>0)}$ nach sich zieht.[11]

• Rudolf Fritsch: Der Vierfarbensatz. Geschichte, topologische Grundlagen und Beweisidee. Unter Mitarbeit von Gerda Fritsch. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim, Leipzig, Wien, Zürich 1994, ISBN 3-411-15141-2 (MR1270673).
• Konrad Jacobs, Dieter Jungnickel: Einführung in die Kombinatorik (= de Gruyter Lehrbuch). 2., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin (u. a.) 2004, ISBN 3-11-016727-1.
• K. P. Müller, H. Wölpert: Anschauliche Topologie. Eine Einführung in die elementare Topologie und Graphentheorie (= Mathematik für die Lehrerausbildung). B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02709-7.
• Gerhard Ringel: Das Kartenfärbungsproblem. In: Konrad Jacobs (Hrsg.): Selecta Mathematica III (= Heidelberger Taschenbücher. Band 86). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1971, ISBN 3-540-05333-6 (MR0543809).
• Lutz Volkmann: Fundamente der Graphentheorie. Springer Verlag, Wien, New York 1996, ISBN 3-211-82774-9 (MR1392955).
• Klaus Wagner: Graphentheorie (= BI-Hochschultaschenbücher. 248/248a). Bibliographisches Institut, Mannheim (u. a.) 1970, ISBN 3-411-00248-4.

1. Die chromatische Zahl ${\displaystyle \chi (F)}$ ist zu unterscheiden von der Euler-Charakteristik von ${\displaystyle F}$, obwohl für beide Zahlen derselbe griechische Buchstabe als Bezeichner auftritt.
2. Rudolf Fritsch: Der Vierfarbensatz. 1994, S. 25–26, 128
3. K. P. Müller, H. Wölpert: Anschauliche Topologie. 1976, S. 67
4. Müller, Wölpert, op. cit., S. 148–149
5. ${\displaystyle \lfloor {\cdot }\rfloor }$ ist die Gaußklammerfunktion.
6. Gerhard Ringel: Das Kartenfärbungsproblem. in: Selecta Mathematica III 1971, S. 30 ff., 45–47
7. Ringel, op. cit., S. 31
8. Siehe Vier-Farben-Satz#Kritik!
9. Ringel, op. cit., S. 32
10. ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ ist die Aufrundungsfunktion.
11. Ringel, op. cit., S. 32–33