Topologische Komplexität

Sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle PX=C([0,1],X)}$ der Wegraum von ${\displaystyle X}$, also der Raum aller stetigen Wege in ${\displaystyle X}$. Es gibt eine stetige Projektion ${\displaystyle \pi :PX\to \,X\times X}$ durch ${\displaystyle \pi (\gamma )=(\gamma (0),\gamma (1))}$. Die topologische Komplexität ist die kleinste Nummer ${\displaystyle n}$, sodass:

• eine offene Überdeckung ${\displaystyle (U_{i})_{i=1}^{k}}$von ${\displaystyle X\times X}$ existiert,
• für jedes ${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$ ein lokaler Schnitt ${\displaystyle s_{i}\colon U_{i}\rightarrow PX}$ existiert, also eine stetige Abbildung mit ${\displaystyle \pi \circ s_{i}=\operatorname {id} _{U_{i}}}$.

• Ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$ ist genau dann zusammenziehbar, wenn ${\displaystyle \operatorname {TC} (X)=1}$.
• Die topologische Komplexität hängt mit der Lusternik–Schnirelmann-Kategorie zusammen über[1]:

  ${\displaystyle \operatorname {cat} (X)\leq \operatorname {TC} (X)\leq 2\operatorname {cat} (X)-1}$

• Für wegzusammenhängende metrische Räume gilt:[1]

  ${\displaystyle \operatorname {TC} (X\times Y)\leq \operatorname {TC} (X)+\operatorname {TC} (Y)+1}$

• Für die topologische Komplexität der Sphäre ${\displaystyle S^{n}}$ gilt:[1]

  ${\displaystyle \operatorname {TC} (S^{n})={\begin{cases}2&{\text{für }}n{\text{ ungerade}}\\3&{\text{für }}n{\text{ gerade}}\end{cases}}}$

• Für die topologische Komplexität des ${\displaystyle n}$-fachen Produktes von ${\displaystyle m}$-Sphären gilt:[1]

  ${\displaystyle \operatorname {TC} ((S^{m})^{n})={\begin{cases}n+1&{\text{für }}m{\text{ ungerade}}\\2n+1&{\text{für }}m{\text{ gerade}}\end{cases}}}$

• Insbesondere folgt mit ${\displaystyle m=1}$ der Spezialfall ${\displaystyle \operatorname {TC} (T^{n})=n+1}$ für die topologische Komplexität der Tori.
• Für die topologische Komplexität der Σ-Flächen gilt:[1]

  ${\displaystyle \operatorname {TC} (\Sigma _{g})={\begin{cases}3&;g\leq 1\\5&;g>1\end{cases}}}$

• Es gilt ${\displaystyle \operatorname {TC} (\mathbb {R} P^{2})=3}$, ${\displaystyle \operatorname {TC} (\mathbb {C} P^{2})=\operatorname {TC} ({\overline {\mathbb {C} P^{2}}})=4}$ und ${\displaystyle \operatorname {TC} (S^{2}\times S^{2})=4}$.[2]
• Ist ${\displaystyle \operatorname {Conf} (\mathbb {R} ^{m},n)}$ der Konfigurationsraum von ${\displaystyle n}$ getrennten Punkten im ${\displaystyle m}$-dimensionalen euklidischen Raum, dann ist[3]:

  ${\displaystyle \operatorname {TC} (\operatorname {Conf} (\mathbb {R} ^{m},n))={\begin{cases}2n-1&{\text{für }}m{\text{ ungerade}}\\2n-2&{\text{für }}m{\text{ gerade}}\end{cases}}}$

• Die topologische Komplexität der Kleinschen Flasche ist 5.[4]

• Topologische Komplexität auf nLab (englisch)