Toeplitz-Operator

Es sei ${\displaystyle H}$ ein ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Hilbertraum mit einer Orthonormalbasis ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$. Ein stetiger, linearer Operator ${\displaystyle T}$ auf ${\displaystyle H}$ heißt Toeplitz-Operator, falls ${\displaystyle \langle Te_{n},e_{m}\rangle =\langle Te_{n+k},e_{m+k}\rangle }$ für alle ${\displaystyle m,n,k\in \mathbb {N} }$, wobei ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ das Skalarprodukt des Hilbertraums sei.[1]

Aus obiger Definition folgt, dass es Zahlen ${\displaystyle t_{i}\in \mathbb {C} }$ gibt, so dass ${\displaystyle \langle Te_{n},e_{m}\rangle =t_{n-m}}$ für alle ${\displaystyle n,m\in \mathbb {N} }$. Da die ${\displaystyle \langle Te_{n},e_{m}\rangle }$ die Matrixkomponenten der Matrixdarstellung von ${\displaystyle T}$ bezüglich der Orthonormalbasis ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ sind, ist die Toeplitz-Eigenschaft äquivalent dazu, dass die Matrix auf der Hauptdiagonalen und allen Nebendiagonalen jeweils konstant ist, das heißt folgende Struktur hat:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}t_{0}&{\color {Red}t_{1}}&{\color {Green}t_{2}}&{\color {Orange}t_{3}}&{\color {Gray}t_{4}}&\ldots \\{\color {Blue}t_{-1}}&t_{0}&{\color {Red}t_{1}}&{\color {Green}t_{2}}&{\color {Orange}t_{3}}&\ldots \\{\color {BrickRed}t_{-2}}&{\color {Blue}t_{-1}}&t_{0}&{\color {Red}t_{1}}&{\color {Green}t_{2}}&\ldots \\{\color {Magenta}t_{-3}}&{\color {BrickRed}t_{-2}}&{\color {Blue}t_{-1}}&t_{0}&{\color {Red}t_{1}}&\ldots \\{\color {Gray}t_{-4}}&{\color {Magenta}t_{-3}}&{\color {BrickRed}t_{-2}}&{\color {Blue}t_{-1}}&t_{0}&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

Offenbar sind der Nulloperator ${\displaystyle 0_{H}}$ und der identische Operator ${\displaystyle 1_{H}}$ Toeplitz-Operatoren, denn ihre Matrixdarstellung besteht im ersten Fall nur aus Nullen, im zweiten Fall aus Einsen auf der Diagonalen und sonst nur Nullen.

Der Shiftoperator ${\displaystyle S}$, der durch ${\displaystyle e_{n}\mapsto e_{n+1}}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ festgelegt ist, und dessen Adjungierte ${\displaystyle S^{*}}$ sind Toeplitz-Operatoren[2][3], denn ihre Matrixdarstellungen sind

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&\ldots \\1&0&0&0&\ldots \\0&1&0&0&\ldots \\0&0&1&0&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$   bzw.   ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&0&0&\ldots \\0&0&1&0&\ldots \\0&0&0&1&\ldots \\0&0&0&0&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$.

Für einen beliebigen Operator ${\displaystyle T}$ gilt offenbar ${\displaystyle \langle S^{*}TSe_{n},e_{m}\rangle =\langle TSe_{n},Se_{m}\rangle =\langle Te_{n+1},e_{m+1}\rangle }$ und man liest folgende Charakterisierung ab:

• Ein stetiger, linearer Operator ${\displaystyle T}$ ist genau dann ein Toeplitz-Operator, wenn ${\displaystyle S^{*}TS=T}$.[4][5]

Daraus oder aus der Matrixdarstellung folgt, dass die Menge der Toeplitz-Operatoren ein abgeschlossener Unterraum in der C*-Algebra ${\displaystyle L(H)}$ der stetigen, linearen Operatoren auf ${\displaystyle H}$ ist, der zudem bezüglich der Adjunktion abgeschlossen ist.[6]

Ist ${\displaystyle H}$ ein endlichdimensionaler Raum, also ohne Einschränkung ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ mit der kanonischen Basis, so erhält man den Begriff der Toeplitz-Matrix. In diesem Artikel geht es um Operatoren auf unendlich-dimensionalen, separablen Hilberträumen.

Erweitert man den Hilbertraum ${\displaystyle H}$ mit Orthonormalbasis ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ zu einem Hilbertraum ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ mit einer Orthonormalbasis ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$, das heißt die in ${\displaystyle H}$ gegebene Orthonormalbasis wird um ${\displaystyle e_{n}}$ mit negativen Indizes ${\displaystyle n<0}$ verlängert, so nennt man Operatoren ${\displaystyle T\in L({\tilde {H}})}$ Laurent-Operatoren, falls ${\displaystyle \langle Te_{n},e_{m}\rangle =\langle Te_{n+k},e_{m+k}\rangle }$ für alle ${\displaystyle m,n,k\in \mathbb {Z} }$ gilt. Die Matrixdarstellungen haben eine ganz ähnliche Form wie die der Toeplitz-Operatoren, das heißt sie haben auf der Haupt- und den Nebendiagonalen konstante Werte, sie sind allerdings auch nach links und oben unendlich ausgedehnt. Daraus ergibt sich:

• Toeplitz-Operatoren sind Kompressionen von Laurent-Operatoren.[7]

Besonders elegant wird die Theorie, wenn man als Hilbertraum den Hardy-Raum ${\displaystyle H^{2}}$ der Elemente aus ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {T} )}$ mit verschwindenden negativen Fourier-Koeffizienten nimmt, wobei ${\displaystyle \mathbb {T}$ :=\{z\in \mathbb {C} \mid |z|=1\}} die Einheitskreislinie sei. Man betrachtet dort die Orthonormalbasis der Funktionen ${\displaystyle e_{n}:z\mapsto z^{n},n\in \mathbb {N} _{0}}$, die man oft einfach mit ${\displaystyle z^{n}}$ bezeichnet. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle e_{n},z\mapsto z^{n},n\in \mathbb {Z} }$ eine Orthonormalbasis von ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {T} )}$ ist, dann ist ${\displaystyle H^{2}}$ der von ${\displaystyle (e_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$ erzeugte abgeschlossene Unterraum. Viele Autoren betrachten nur die Toeplitz-Operatoren auf dem Hardy-Raum mit der Orthonormalbasis ${\displaystyle z^{n},n\in \mathbb {N} _{0}}$ als Toeplitz-Operatoren. Da man zwei Hilberträume mit abzählbarer Orthonormalbasis nach dem Satz von Riesz-Fischer (unter Beibehaltung vorgegebener Orthonormalbasen) unitär aufeinander abbilden kann, sind alle Toeplitz-Operatoren unitär äquivalent zu solchen auf dem Hardy-Raum mit der Orthonormalbasis ${\displaystyle z^{n},n\in \mathbb {N} _{0}}$. Auf dem Hardy-Raum hat man zusätzliche Struktur, die die Untersuchung der Toeplitz-Operatoren erleichtert, daher beschränken wir uns im Folgenden auf diese Situation.

Ist ${\displaystyle f}$ eine wesentlich beschränkte, messbare Funktion ${\displaystyle \mathbb {T} \rightarrow \mathbb {C} }$, so ist der Multiplikationsoperator ${\displaystyle L_{f}\colon L^{2}(\mathbb {T} )\rightarrow L^{2}(\mathbb {T} ),\varphi \mapsto f\varphi }$ ein Laurent-Operator mit Matrixkoeffizienten ${\displaystyle t_{i,j}=a_{i-j}}$, wobei ${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}e_{n}}$ die Fourier-Entwicklung von ${\displaystyle f}$ sei.

Ist ${\displaystyle P\colon L^{2}(\mathbb {T} )\rightarrow H^{2}}$ die Orthogonalprojektion, so ist die Kompression ${\displaystyle T_{f}\colon =PL_{f}|_{H^{2}}\colon H^{2}\rightarrow H^{2},\varphi \mapsto P(f\cdot \varphi )}$ ein Toeplitz-Operator. Man kann zeigen, dass dies schon alle Toeplitz-Operatoren sind, genauer gilt:

• Die Zuordnung ${\displaystyle f\mapsto T_{f}}$ ist eine surjektive, lineare Isometrie vom Raum ${\displaystyle L^{\infty }(\mathbb {T} )}$ auf den Raum der Toeplitz-Operatoren. Es gilt ${\displaystyle \|T_{f}\|=\|f\|_{\infty }}$ und das ist auch gleich dem Spektralradius von ${\displaystyle T_{f}}$. Ferner gilt für die Adjunktion ${\displaystyle (T_{f})^{*}=T_{\overline {f}}}$, wobei der Oberstrich für die komplexe Konjugation steht.[8][9]

Ist ${\displaystyle T}$ ein Toeplitz-Operator auf ${\displaystyle H^{2}}$, so gibt es also ein (fast überall) eindeutig bestimmtes ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\mathbb {T} )}$ mit ${\displaystyle T=T_{f}}$. Man nennt ${\displaystyle f}$ das Symbol von ${\displaystyle T}$.

Beispielsweise ist ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {T} }}$ das Symbol des Shiftoperators, denn in der Orthonormalbasis ${\displaystyle z^{n}}$ ist der Shiftoperator nichts anderes als die Multiplikation mit ${\displaystyle z}$.

Das Produkt zweier Toeplitz-Operatoren ist im Allgemeinen nicht wieder ein Toeplitz-Operator. Beispielsweise sind der Shiftoperator ${\displaystyle S}$ und seine Adjungierte ${\displaystyle S^{*}}$ Toeplitz-Operatoren, aber das Produkt ${\displaystyle SS^{*}}$ ist die Orthogonalprojektion auf den von ${\displaystyle (e_{n})_{n=1,2,3,\ldots }}$ erzeugten abgeschlossenen Unterraum, hat also die Matrix-Darstellung

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&0&\ldots \\0&1&0&0&\ldots \\0&0&1&0&\ldots \\0&0&0&1&\ldots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}}$

und ist daher kein Toeplitz-Operator, denn die Werte auf der Hauptdiagonalen sind nicht konstant.

Wir nennen einen Toeplitz-Operator analytisch, wenn sein Symbol aus ${\displaystyle H^{\infty }:=L^{2}(\mathbb {T} )\cap H^{2}}$ ist, und wir nennen ihn co-analytisch, wenn ${\displaystyle T^{*}}$ analytisch ist.[10] Damit gilt:

• Das Produkt ${\displaystyle T_{f}T_{g}}$ zweier Toeplitz-Operatoren ${\displaystyle T_{f}}$ und ${\displaystyle T_{g}}$ ist genau dann wieder ein Toeplitz-Operator, wenn ${\displaystyle T_{f}}$ co-analytisch oder ${\displaystyle T_{g}}$ analytisch ist. In diesem Fall gilt ${\displaystyle T_{f}T_{g}=T_{fg}}$.[11]

Wie bereits oben erwähnt, ist der Spektralradius eines Toeplitz-Operators stets gleich der Operatornorm. Insbesondere gibt es außer dem Nulloperator keine quasinilpotenten Toeplitz-Operatoren. Toeplitz-Operatoren mit reellem Spektrum sind selbstadjungiert.

Eine Beschreibung des Spektrums eines Toeplitz-Operators in Abhängigkeit des Symbols kann man für analytische Toeplitz-Operatoren erhalten. Ist ${\displaystyle f\in H^{\infty }}$, so gibt es eine eindeutig bestimmte holomorphe Funktion ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ auf dem offenen Einheitskreis ${\displaystyle \mathbb {D} }$, deren Randwerte gerade ${\displaystyle f}$ sind (fast überall). Für solche Operatoren gilt folgende Formel für ihr Spektrum

${\displaystyle \sigma (T_{f})={\overline {{\tilde {f}}(\mathbb {D} )}}}$,

wobei der Oberstrich für die Abschlussbildung in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ steht.[12]

Ist das Symbol ${\displaystyle f:\mathbb {T} \rightarrow \mathbb {C} }$ nur stetig, so gilt

${\displaystyle \sigma (T_{f})=f(\mathbb {T} )\cup \{\lambda \in \mathbb {C} \setminus f(\mathbb {T} )\mid \mathrm {wind} (f-\lambda )\not =0\}}$.[13]

Dabei ist ${\displaystyle \mathrm {wind} (f-\lambda )}$ die Windungszahl der Funktion ${\displaystyle f-\lambda \colon \mathbb {T} \rightarrow \mathbb {C} ,z\mapsto f(z)-\lambda }$, die für ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} \setminus f(\mathbb {T} )}$ wohldefiniert ist, da dann die Funktion ${\displaystyle f-\lambda }$ keine Nullstellen hat.

Je zwei Toeplitz-Operatoren kommutieren im Allgemeinen nicht, wie man leicht am Beispiel des Shiftoperators sieht, denn ${\displaystyle S^{*}S=1_{H^{2}}}$ und ${\displaystyle SS^{*}}$ ist eine Orthogonalprojektion auf einen echten Teilraum, wie oben bereits erwähnt. Neben den Kommutatoren ${\displaystyle [T_{f},T_{g}]}$ betrachtet man die sogenannten Semikommutatoren

${\displaystyle [T_{f},T_{g})\colon =T_{f}T_{g}i-T_{fg}}$.[14]

Diese sind wegen der oben beschriebenen fehlenden Multiplikativität der Zuordnung ${\displaystyle f\mapsto T_{f}}$ im Allgemeinen vom Nulloperator verschieden. Das Beispiel des Shiftoperators ${\displaystyle S=T_{z}}$, wobei ${\displaystyle z}$ für ${\displaystyle \mathrm {id} _{\mathbb {T} }}$ steht, zeigt

${\displaystyle [S^{*},S)=S^{*}S-T_{{\overline {z}}z}=S^{*}S-T_{1}=1_{H^{2}}-1_{H^{2}}=0_{H^{2}}}$,

aber

${\displaystyle [S,S^{*})=SS^{*}-T_{z{\overline {z}}}=SS^{*}-T_{1}=SS^{*}-1_{H^{2}}=-\langle \cdot ,e_{0}\rangle e_{0}}$

ist das Negative der eindimensionalen Projektion auf den Unterraum ${\displaystyle \mathbb {C} e_{0}}$. Es gilt folgender Satz:

• Ist ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\mathbb {T} )}$ und ist ${\displaystyle g\in C(\mathbb {T} )}$, das heißt stetig, so sind die Semikommutatoren ${\displaystyle [T_{f},T_{g})}$ und ${\displaystyle [T_{g},T_{f})}$ kompakt.[15][16]

Bezeichnet ${\displaystyle K(H^{2})}$ das Ideal der kompakten Operatoren, so ergibt sich aus diesem Satz, dass ${\displaystyle \{T_{f}+K\mid f\in C(\mathbb {T} ),K\in K(H^{2})\}}$ eine Algebra ist. Es handelt sich sogar um eine C*-Algebra, die sogenannte Toeplitz-Algebra.[17]

• Paul Halmos: A Hilbert Space Problem Book. Springer, New York 1974, ISBN 1-4684-9330-2, Kapitel 20. Toeplitz operators, S. 135–140 (englisch).
• Nikolai Kapitonowitsch Nikolski: Toeplitz Matrices and Operators (= Cambridge studies in mathematics. Band 182). Cambridge University Press, 2020, ISBN 978-1-107-19850-0 (englisch).
• Kenneth R. Davidson: C*-Algebras by Examples. Hrsg.: American Mathematical Society (= Fields Institute Monographs). 1996, ISBN 0-8218-0599-1, Kapitel V.1 Toeplitz Operators, S. 132–136 (englisch).