Tits-Alternative

Es sei ${\displaystyle K}$ ein beliebiger Körper und ${\displaystyle GL(n,K)}$ die allgemeine lineare Gruppe, d. h. die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit Einträgen aus dem Körper ${\displaystyle K}$.

Dann trifft für jede endlich erzeugte Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset GL(n,K)}$ genau eine der beiden folgenden Alternativen zu:

• ${\displaystyle \Gamma }$ ist fast-auflösbar, d. h., es enthält eine auflösbare Untergruppe von endlichem Index, oder
• ${\displaystyle \Gamma }$ enthält eine freie Untergruppe ${\displaystyle F}$ vom Rang ${\displaystyle rk(F)\geq 2}$.

Die beiden Möglichkeiten schließen sich gegenseitig aus.

Dieser Satz wurde von Bass und Serre vermutet und 1972 von Jacques Tits bewiesen. Ein wesentliches Ingredient im Beweis war das Ping-Pong-Lemma.

Allgemein spricht man davon, dass eine Klasse von Gruppen die Tits-Alternative erfüllt, wenn alle Gruppen aus dieser Klasse entweder fast-auflösbar sind oder eine freie Untergruppe vom Rang ${\displaystyle \geq 2}$ enthalten.

Die Tits-Alternative gilt für zahlreiche Klassen von Gruppen, darunter die folgenden:

• Endlich erzeugte Untergruppen von ${\displaystyle GL(n,K)}$ für einen beliebigen Körper ${\displaystyle K}$
• Hyperbolische Gruppen[1]
• Abbildungsklassengruppen kompakter Flächen[2]
• ${\displaystyle Out(F_{n})}$[3]
• Gruppen, welche frei und eigentlich auf einem CAT(0)-Würfelkomplex wirken[4]
• Gruppen polynomieller Automorphismen des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$[5]
• Gruppen bimeromorpher Automorphismen kompakter Kählermannigfaltigkeiten[6]
• Gruppen birationaler Abbildungen kompakter Kählerflächen[7]

Eine Gruppe, für die die Tits-Alternative nicht gilt, muss entweder

• eine mittelbare Gruppe, aber nicht fast-auflösbar sein

oder aber

• nicht mittelbar sein, aber keine freie Untergruppe vom Rang ${\displaystyle \geq 2}$ enthalten.

Gruppen mit einer dieser beiden Eigenschaften sind schwer zu konstruieren und gelten als exotisch. Man kennt inzwischen aber eine Reihe von Beispielen:

• die Thompsonsche Gruppe
• die Tarski-Gruppe
• die Burnside-Gruppen ${\displaystyle B(m,n)}$ für ${\displaystyle n\geq 665}$ ungerade
• die Grigortschuk-Gruppe.

Es gibt endlich erzeugte auflösbare Gruppen, deren Automorphismengruppen nicht der Tits-Alternative genügen.[8]

Tits, J.: "Free subgroups in linear groups". Journal of Algebra 20 (2), 250–270 (1972). online (pdf)

Tointon: The Tits Alternative, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022

1. Gromov,M.: Hyperbolic groups. Essays in group theory, Publ., Math. Sci. Res. Inst. 8, 75-263 (1987).
2. Ivanov, N.V.: Algebraic properties of the Teichmüller modular group. Sov. Math., Dokl. 29, 288-291 (1984); McCarthy, John: A “Tits-alternative” for subgroups of surface mapping class groups. Trans. Am. Math. Soc. 291, 583-612 (1985).
3. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark; Handel, Michael: The Tits alternative for Out(F_n). I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms. Ann. Math. (2) 151, No. 2, 517-623 (2000). The Tits alternative for Out(F_n). II: A Kolchin type theorem. Ann. Math. (2) 161, No. 1, 1-59 (2005).
4. Sageev, Michah; Wise, Daniel T.: The Tits alternative for CAT(0) cubical complexes. Bull. Lond. Math. Soc. 37, No. 5, 706-710 (2005).
5. Lamy, Stéphane: The Tits alternative for Aut[ℂ2]. (L’alternative de Tits pour Aut[ℂ²].) J. Algebra 239, No. 2, 413-437 (2001).
6. Oguiso, Keiji: Tits alternative in hyper-Kähler manifolds. Math. Res. Lett. 13, No. 2-3, 307-316 (2006).
7. Cantat, Serge: Sur les groupes de transformations birationnelles des surfaces. Ann. Math. (2) 174, No. 1, 299-340 (2011).
8. Hartley, Brian: A conjecture of Bachmuth and Mochizuki on automorphisms of soluble groups. Can. J. Math. 28, 1302-1310 (1976).