Tijs-Wert

Der Vektor der Grenzbeiträge jedes Spielers zur großen Koalition bildet den Obervektor. Unter der großen Koalition versteht man dabei die aus allen Spielern bestehende Koalition. Für jeden Spieler ${\displaystyle i\in N}$, diese seien nummeriert von ${\displaystyle {1}}$ bis ${\displaystyle n}$, wird die Differenz zwischen dem Wert der großen Koalition ${\displaystyle v(N)}$ und dem Wert der großen Koalition abzüglich des Spielers ${\displaystyle v(N\setminus \{i\})}$ berechnet. Dieser sogenannte Grenzbeitrag des Spielers ${\displaystyle i}$ beschreibt die obere Grenze für die Auszahlung an eben jenen Spieler. Somit wird dem Spieler keine höhere Auszahlung gewährt, als sein Wertbeitrag zur großen Koalition.

In einem Spiel ${\displaystyle \Gamma ({N},v)}$ ist der Obervektor (auch Utopia-Vektor genannt) ${\displaystyle b=(b_{1},b_{2},...,b_{n})^{\mathrm {T} }}$ beschrieben durch:

${\displaystyle \forall \ \ i\in N:b_{i}=v(N)-v(N\setminus \{i\}).}$

Die Koordinate ${\displaystyle b_{i}}$ beschreibt hierbei den marginalen Beitrag des Spielers ${\displaystyle i}$ bzgl. der großen Koalition ${\displaystyle N}$.[1]

Sollte sich ein Spieler ${\displaystyle i\in N}$ nicht an der großen Koalition ${\displaystyle N}$ beteiligen wollen, so kann er Teil einer sogenannten Außenseiterkoalition ${\displaystyle S}$ werden. Dann steht ihm der Wert der Außenseiterkoalition ${\displaystyle v(S)}$ zu. Allerdings muss Spieler ${\displaystyle i}$ den anderen Spielern einen Anreiz bieten, um ebenfalls an der Außenseiterkoalition ${\displaystyle S}$ teilzunehmen. Dazu wird jedem anderen Spieler ${\displaystyle \displaystyle {j\in S\setminus \left\lbrace i\right\rbrace }}$, der Wert geboten, den sie als Teil der großen Koalition ${\displaystyle b_{j}}$ realisieren könnten. Die so berechnete Differenz bildet die Untergrenze (auch Drohpunkt oder Konzessionsgrenze genannt) des Spielers ${\displaystyle i}$. Rein rational wird jene Koalition angestrebt, in der diese Differenz am größten ist.

In einem Spiel ${\displaystyle \Gamma ({N},v)}$ ist der Untervektor ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},...,a_{n})^{\mathrm {T} }}$ gegeben mit:

${\displaystyle \forall \ \ i\in N:\ a_{i}=\displaystyle {\max \limits _{S\subseteq N:i\in S}~\left\lbrace v(S)-\sum _{j\in S\setminus \left\lbrace i\right\rbrace }b_{j}\right\rbrace }.}$[2]

An eine solche Zuteilung werden zwei Forderungen gestellt. Zum einen müssen die Koordinaten ${\displaystyle b_{i}}$ mindestens so groß sein wie ${\displaystyle a_{i}}$ (für alle Spieler). Zum anderen soll der Wert der großen Koalition nicht-kleiner bzw. nicht-größer als die Summe aller ${\displaystyle a_{i}}$ bzw. ${\displaystyle b_{i}}$ sein. Dies beschreibt die Quasi-Balanciertheit eines Spieles.

Ein Spiel ${\displaystyle \Gamma ({N},v)}$ ist quasi-balanciert, sofern für alle ${\displaystyle i\in N}$:

${\displaystyle a_{i}\leq b_{i}}$ sowie ${\displaystyle \displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}\leq v(N)\leq \sum _{i\in N}b_{i}}}$ erfüllt ist.[3]

Für quasi-balancierte Spiele ist die Existenz und Eindeutigkeit einer Imputation gesichert, welche zwischen dem Obervektor ${\displaystyle b}$ und Untervektor ${\displaystyle a}$ liegt. Diese Imputation wird Tijs-Wert genannt.

Der ${\displaystyle \tau }$-Wert eines quasi-balancierten Spieles ist definiert durch:

${\displaystyle \tau ~(v)=a+\lambda (b-a)}$, wobei:

${\displaystyle \lambda =0}$, wenn ${\displaystyle a=b}$, ansonsten:

${\displaystyle \lambda ={\frac {v(N)-\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}}}{\displaystyle {\sum _{i\in N}b_{i}}-\sum _{i\in N}a_{i}}}.}$[4]

Insgesamt erhält Spieler ${\displaystyle i}$ die ${\displaystyle i}$-Koordinate des ${\displaystyle \tau }$-Wert als Lösung zugeteilt.

Koalitionsfunktion des (Bei-)Spiels[5]

${\displaystyle {\displaystyle S}}$	${\displaystyle {\displaystyle \emptyset }}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{B\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,B\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{B,C\}}}$	${\displaystyle {\displaystyle \{A,B,C\}}}$
${\displaystyle {\displaystyle v(S)}}$	${\displaystyle {\displaystyle 0}}$	${\displaystyle {\displaystyle 200}}$	${\displaystyle {\displaystyle 200}}$	${\displaystyle {\displaystyle 200}}$	${\displaystyle {\displaystyle 700}}$	${\displaystyle {\displaystyle 500}}$	${\displaystyle {\displaystyle 500}}$	${\displaystyle {\displaystyle 1200}}$

Der Obervektor ${\displaystyle b}$ ist bestimmt mit:

${\displaystyle b~={\begin{pmatrix}b_{\scriptscriptstyle A}\\b_{\scriptscriptstyle B}\\b_{\scriptscriptstyle C}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace B,C\rbrace )\\v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace A,C\rbrace )\\v~(\lbrace A,B,C\rbrace )-v~(\lbrace A,B\rbrace )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1200-500\\1200-500\\1200-700\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}700\\700\\500\end{pmatrix}}}$.

Der Untervektor ${\displaystyle a}$ ist berechnet mit:

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}a_{A}\\a_{B}\\a_{C}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\operatorname {max} }(v(\lbrace A\rbrace );~v(\lbrace A,B\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle B};~v(\lbrace A,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle C};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle B}+b_{\scriptscriptstyle C}))\\{\operatorname {max} }(v(\lbrace B\rbrace );~v(\lbrace A,B\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle A};~v(\lbrace B,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle C};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle C}))\\{\operatorname {max} }(v(\lbrace C\rbrace );~v(\lbrace A,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle A};~v(\lbrace B,C\rbrace )-b_{\scriptscriptstyle B};~v(\lbrace A,B,C\rbrace )-(b_{\scriptscriptstyle A}+b_{\scriptscriptstyle B}))\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}{\operatorname {max} }(200;~700-700;~500-500;~1200-(700+500))\\{\operatorname {max} }(200;~700-700;~500-500;~1200-(700+500))\\{\operatorname {max} }(200;~500-700;~500-700;~1200-(700+700))\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle a={\begin{pmatrix}&{\operatorname {max} }&(&200&;~&0&;~&0&;~&0&&)\\&{\operatorname {max} }&(&200&;~&0&;~&0&;~&0&&)\\&{\operatorname {max} }&(&200&;~&-200&;~&-200&;~&-200&&)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}200\\200\\200\end{pmatrix}}}$

Weiter ist der Faktor ${\displaystyle \lambda }$ zu berechnen mit:

${\displaystyle \lambda ={\frac {v(N)-\displaystyle {\sum _{i\in N}a_{i}}}{\displaystyle {\sum _{i\in N}b_{i}}-\sum _{i\in N}a_{i}}}={\dfrac {1.200-600}{1.900-600}}={\dfrac {6}{13}}}$.

Insgesamt folgt daher:

${\displaystyle \tau ~=a+\lambda (b-a)={\begin{pmatrix}200\\200\\200\end{pmatrix}}+{\dfrac {6}{13}}{\begin{pmatrix}500\\500\\300\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\dfrac {5600}{13}}\\{\dfrac {5600}{13}}\\{\dfrac {4400}{13}}\end{pmatrix}}}$.[6]

• Jesús Mario Bilbao: Cooperative Games on Combinatorial Structures. Springer, New York 2000, ISBN 978-0-7923-7782-5.
• Rodica Branzei, Dinko Dimitrov, Stef Tijs: Models in Cooperative Game Theory. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-77953-7.
• David Müller: Investitionscontrolling: Entscheidungsfindung bei Investitionen II: Entscheidungstheorie. 3. Aufl. Springer Gabler, Berlin u. a. 2022, ISBN 978-3-658-36596-7.
• S. H. Tijs: Bounds for the core of a game and the ${\displaystyle \tau }$-value. In: O. Moeschlin, D. Pallaschke (Hg.): Game theory and mathematical economics. North-Holland, Amsterdam 1981, S. 123–132.
• S. H. Tijs: An axiomatization of the ${\displaystyle \tau }$-value. In: Mathematical Social Sciences, Volume 13, Issue 2, 1987, doi:10.1016/0165-4896(87)90054-0, S. 177–181.

1. Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 513; Tijs 1981, S. 123.
2. Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 513–514; Tijs 1981, S. 123–124.
3. Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 31; Müller 2022, S. 514; Tijs 1987, S. 178.
4. Vgl. Bilbao 2000, S. 6; Branzei et al. 2008, S. 32; Müller 2022, S. 514; Tijs 1987, S. 179.
5. Vgl. Müller 2022, S. 479.
6. Vgl. Müller 2022, S. 515.