Theil-Index

Für ${\displaystyle n}$ Personen mit Einkommen ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ist das Durchschnittseinkommen ${\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}y_{i}}$ und es werden Theil-Indizes ${\displaystyle T_{L},T_{T},T_{S}}$ unter der Konvention ${\displaystyle 0\cdot \ln {0}=0}$ wie folgt definiert:

${\displaystyle T_{T}=T_{\alpha =1}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y_{i}}{\mu }}\cdot \ln {\frac {y_{i}}{\mu }}\right)}$

${\displaystyle T_{L}=T_{\alpha =0}=MLD={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(\ln {\frac {\mu }{y_{i}}}\right)}$

${\displaystyle T_{S}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {1}{2}}\left({\frac {y_{i}}{\mu }}-1\right)\ln(y_{i})\right]}$

MLD steht hierbei für mean log deviation. Es gelten dabei die Beziehungen

${\displaystyle T_{L}(y)=T_{T}\left({\frac {1}{y}}\right)}$

${\displaystyle T_{S}={\frac {T_{T}+T_{L}}{2}}}$

${\displaystyle 0\leq T_{L}}$

${\displaystyle T_{L}=0\quad \Leftrightarrow \quad T_{T}=0\quad \Leftrightarrow \quad T_{S}=0\quad \Leftrightarrow \quad y_{i}=\mu \quad {\text{für alle }}i}$

${\displaystyle T_{T}=\ln(n)\quad \Leftrightarrow \quad y_{i}=n\mu \quad {\text{für ein }}i}$

${\displaystyle T_{S}(y)=T_{S}\left({\frac {1}{y}}\right)}$

Claude Shannon entwickelte sein Entropie-Maß aus der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Ereignisses. Theil leitete seinen Index daraus ab. Der Theil-Index kann als die Wahrscheinlichkeit verstanden werden, mit der ein von einer Bevölkerung entnommener Euro von einem bestimmten Individuum stammt. Das ist das Gleiche wie der erste Ausdruck: Der Anteil eines Individuums am Gesamteinkommen.

Ist ${\displaystyle S}$ das Shannons-Maß, so gilt

${\displaystyle T=\ln(N)-S}$.

${\displaystyle e^{T}}$ ist ein Gleichverteilungsmaß, mit dazugehörigem Ungleichverteilungsmaß ${\displaystyle \left(1-e^{T}\right)}$.

Der Theil-Index aggregiert die gewichtete Summe der Ungleichheiten von Untergruppen. So kann damit zum Beispiel die Ungleichverteilung in Deutschland aus den Ungleichverteilungen in den Ländern berechnet werden.

Wenn die Bevölkerung in ${\displaystyle m}$ Untergruppen aufgeteilt werden kann und ${\displaystyle s_{k}}$ der Einkommensanteil einer Untergruppe ${\displaystyle k}$ am Gesamteinkommen ist, dann beschreibt ${\displaystyle T_{k}}$ die Ungleichverteilung in der Untergruppe und ${\displaystyle {\overline {x}}_{k}}$ ist das durchschnittliche Einkommen der Untergruppe ${\displaystyle k}$. Der Theil-Index ${\displaystyle T_{k}}$ ist dann

${\displaystyle T=\sum _{k=1}^{m}s_{k}T_{k}+\sum _{k=1}^{m}s_{k}\ln {\frac {{\overline {x}}_{k}}{\overline {x}}}}$.

So beschrieben, ist der Theil-Index ${\displaystyle T_{k}}$ dann der „Beitrag“ der Untergruppe zur Ungleichverteilung in der gesamten Gruppe.

• Henri Theil: The Information Approach to Demand Analysis. In: Econometrica. Vol. 33, Nr. 1, Januar 1965, ISSN 0012-9682, S. 67–87 (JSTOR:1911889)

• Pedro Conceição, Pedro Ferreira: The Young Person’s Guide to the Theil Index: Suggesting Intuitive Interpretations and Exploring Analytical Applications. (PDF; 1,4 MB). UTIP Working Paper Number 14, Februar 2000.
• University of Texas Inequality Project. Tutorials mit Schwerpunkt auf dem Theil Index (englisch).

1. Paul D. Allison: Measures of Inequality. In: American Sociological Review. Band 63, Nr. 6, Dezember 1978, S. 877.