The Complexity of Songs

Knuths Artikel eröffnet mit der Beobachtung, dass das Singen der meisten Lieder der Länge ${\displaystyle n}$ das Lernen von Text der Länge ${\displaystyle n}$ voraussetzt. Bei wachsender Liedzahl strapaziere diese Eigenschaft die Speicherkapazitäten des Gedächtnisses. Als ein einfaches Konzept zur effizienteren Verwaltung von Speicher führt er das Konzept des Refrains ein. In einem ersten Lemma beweist er mit einer elementaren Rechnung, dass dieses Konzept die benötigte Speicherkapazität um einen konstanten Faktor ${\displaystyle c<1}$ reduzieren kann.

Im direkten Anschluss analysiert er ein Konzept, das dieses Resultat weiter verbessert: Anhand des Liedes Echad mi jodea (he: אחד מי יודע, ji: ver ken zogn ver ken redn) beweist er die Existenz von Liedern mit asymptotischer Speicherkomplexität von ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\sqrt {n}})}$.[A 1] Als konzeptuell vergleichbar nennt er das Lied Green Grow the Rushes, O,[3] (auch The Dilly Song) Alouette,[4] Ist das nicht ein Schnitzelbank und weitere Lieder mit dieser Struktur. Als eine Verbesserung im Koeffizienten diskutiert er die Struktur des Liedes Old McDonald had a Farm ausführlich in einem Lemma.

In einer Untersuchung von Zählreimen anhand des Beispiels von 99 Bottles of Beer konstruiert er Lieder mit logarithmischem Speicherbedarf, also ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\log n)}$. Er betrachtet dafür das Schema mit den Versen ${\displaystyle V_{k}}$. dabei setzt er

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{k}=&T_{k}\ast B\ast W\ast ','\\&T_{k}\ast B\ast ';'\\&'{\mbox{If one of those bottles should happen to fall, }}'\\&T_{k-1}\ast B\ast W\ast '.'\end{aligned}}}$

Dabei ist

${\displaystyle {\begin{aligned}B&='{\mbox{ bottles of Beer}}'\\W&='{\mbox{ on the Wall}}'\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ast }$ ist die Verkettung von Strings und ${\displaystyle T_{k}}$ eine Einbettung der natürlichen Zahl ${\displaystyle k}$ in die englische Sprache. Aufgrund der logarithmischen Zahlendarstellung des Dezimalsystems lässt sich so eine Einbettung mit logarithmischem Speicheraufwand konstruieren. Offensichtlich haben dann die rekursiv erklärten Lieder ${\displaystyle L_{n}}$ mit ${\displaystyle L_{0}=\varepsilon }$, das leere Lied, und ${\displaystyle L_{n+1}=V_{n+1}\ast L_{n}}$ eine logarithmische Komplexität für große ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Dieses Resultat habe sich in allen Situationen, die eine Liedgeneration bei begrenztem Speicherplatz erfordern, als mehr als ausreichend bewährt. Eine nicht weiter optimierbare Struktur sieht er in dem Song That’s the Way (I Like It) der US-amerikanischen Band KC and the Sunshine Band. Die Entwicklung dieser Struktur sieht er durch die Notwendigkeit größerer Liedinstanzen bei minimalem Speicherplatz durch den Fortschritt moderner Drogentechnologie bedingt.[A 2] Er beweist in einem kurzen Argument dessen konstante Komplexität (${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$) und schließt sein Papier mit dem Hinweis auf das offene Problem des Studiums nichtdeterministischer Liedstrukturen. (siehe Aleatorik)

In einem Leserbrief an die ACM wies Kurt Eisemann (San Diego State University) auf eine bekannte Verbesserung der Komplexitätsabschätzung hin, indem die ${\displaystyle L_{n}}$ wie oben zu betrachten seien. Setzt man ${\displaystyle V_{k}='{\mbox{la}}'}$, habe man eine Verbesserung der von Knuth vorgeschlagenen Methode um ${\displaystyle c={\frac {2}{53}}=0.037736\dots }$. Eine Komplexität von ${\displaystyle {\mathcal {O}}(0)}$ könne man durch die Nutzung stiller Datenstrukturen erreichen.[5] Darrah Chavey griff Knuths Idee ernsthaft auf, um einen didaktischen Ansatz zur Erläuterung von Methoden der Informatik zu entwickeln.[6]

1. Zur Notation siehe Landau-Symbol.
2. Originalwortlaut: However, the advent of modern drugs has led to demands for still less memory space.

1. Steven Krantz: Mathematical Apocrypha Redux. 2005, ISBN 0-88385-554-2, S. 2, 3.
2. Donald E. Knuth: The complexity of songs. (Memento des Originals vom 26. Dezember 2005 im Internet Archive)  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.cs.utexas.edu (PDF) In: SIGACT News, Sommer 1977, S. 17–24.
   Reprint in Commun. ACM, 27, no. 4 (1984), S. 344–346, doi:10.1145/358027.358042
3. Green Grow the Rushes, O (Wikisource)
4. L’Alouette Liedblatt (Noten, Text, Übersetzung) der Klingenden Brücke
5. K. Eisemann, Letter: Further Results on The Complexity of Songs, Comm. ACM, 1985, 28(3), 235.
6. Darrah Chavey: Songs and the analysis of algorithms. In: Proceedings of the twenty-seventh SIGCSE technical symposium on Computer science education (Philadelphia PA, United States: ACM, 1996), S. 4–8, doi:10.1145/236452.236475